1r ciclo Demostración de supremos

[The Higgs Particle]

Sea [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $: a \in A, b \in B, a+b=c \in C$, demostrar que $sup(A) + sup(B) = sup(C)$



Por comodidad, llamo $L_a \equiv$ supremo de A, $L_b \equiv$ supremo de B, $L_c \equiv$ supremo de C, $L_a+L_b = L_x$:

$|L_x-L_c| \geqslant 0$

Con la desigualdad triangular y sabiendo que $\left( L_a - \frac{\varepsilon}{2} < a \right);\left( L_b - \frac{\varepsilon}{2} < b \right); \left( L_c - \varepsilon < c \right)$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] \ ${0}$:

$|L_x - L_c| \leqslant |L_x - \varepsilon | - |L_c - \varepsilon| \leqslant |L_a - \frac{\varepsilon}{2}| + |L_b - \frac{\varepsilon}{2}| - |L_c - \varepsilon| < a+b-c = 0$

Pero me quedo aquí, porque si fuese un "$\leqslant 0$" al final sería genial, pues al ser un valor absoluto (por definición siempre positivo), no tendría más remedio que ser igual al 0.

[angel relativamente]

Re: Demostración de supremos

Un detalle: No tiene mucho sentido que tu expresión $L_a-\frac{\epsilon}2<a$ sea $\forall \epsilon$. Piensa por ejemplo que $A=[0,1]$, $a=0$ y $L_a=1$.

Por otro lado en tu cadena de desigualdades al final ya lo tienes. De una expresión del estilo $K\leq \cdots =0$ solo se deduce que $K\leq 0$ y en ningún caso $K=0$

[The Higgs Particle]

Re: Demostración de supremos

Perdona, pero la verdad es que no termino de verlo. ¿Qué sentido tiene que de un valor absoluta me diga que es estrictamente menor que cero? ¿No es eso un sinsentido?

[angel relativamente]

Re: Demostración de supremos

Sí THP, que sea estrictamente menor que cero es un sinsentido, acabo de ver el paso del menor estricto, simplemente había mirado la demostración por encima. Analizándola, se me escapa una cosa: ¿De dónde sacas la propiedad de $|L_x - L_c| \leqslant |L_x - \varepsilon | - |L_c - \varepsilon|$? Después cómo lo continúas entiendo la aplicación de la desigualdad triangular.
Por otro lado, como te he dicho ten cuidado con ese para todo $\epsilon$ porque es falsa, ¿de dónde has sacado esa definición? Piensa que estás diciendo algo como que $c+\epsilon>L_c$ cuando $L_c$ es un supremo y $c$ un valor arbitrario del conjunto. ¿Puede ser que lo que quisieras poner es que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?

[The Higgs Particle]

Re: Demostración de supremos

¿De dónde sacas la propiedad de $|L_x - L_c| \leqslant |L_x - \varepsilon | - |L_c - \varepsilon|$?

Me he comido un paso: $|L_x - L_c| < |(L_x - \varepsilon) - (L_c - \varepsilon)| \leqslant |L_x - \varepsilon | - |L_c - \varepsilon|$

Por otro lado, como te he dicho ten cuidado con ese para todo $\epsilon$ porque es falsa, ¿de dónde has sacado esa definición? Piensa que estás diciendo algo como que $c+\epsilon>L_c$ cuando $L_c$ es un supremo y $c$ un valor arbitrario del conjunto. ¿Puede ser que lo que quisieras poner es que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?

Es la forma que tiene mi profesor de decir que el supremo es la menor de las cotas superiores: en cuanto le quitemos un poco ($- \varepsilon$), ya está dentro del conjunto del que es cota superior, de forma que habrá algún $c \in E$ | $c > L_c - \varepsilon$

[angel relativamente]

Re: Demostración de supremos

Me he comido un paso: $|L_x - L_c| < |(L_x - \varepsilon) - (L_c - \varepsilon)| \leqslant |L_x - \varepsilon | - |L_c - \varepsilon|$

Pero esto en general no es cierto. Básicamente has utilizado que dados $\alpha, \beta$, entonces $\left| \alpha - \beta \right| \leq |\alpha | - |\beta |$, y eso es falso sin más que ocurra $\alpha < \beta$. Ten en cuenta que la diferencia de valores absolutos puede dar valores negativos. La desigualdad triangular lo que dice es que $\left| \alpha + \beta \right| \leq |\alpha | + |\beta |$. Y de hecho es fácil comprobar que $\left| \alpha - \beta \right|= \left| \alpha + (-\beta) \right| \leq |\alpha | + |-\beta |=|\alpha | + |\beta |$, donde observa que al final quedar suma y no resta de valores absolutos.

Es la forma que tiene mi profesor de decir que el supremo es la menor de las cotas superiores: en cuanto le quitemos un poco ($- \varepsilon$), ya está dentro del conjunto del que es cota superior, de forma que habrá algún $c \in E$ | $c > L_c - \varepsilon$

Hay que llevar mucho cuidado con la diferencia de los para todo existe y los existe para todo. Es verdad que en esa definición de supremo se tiene un $\forall \epsilon \exists c \cdots$. No obstante, en este ejercicio no te piden buscar un $c$, te piden buscar una demostración $\forall c$ que pueda ponerse de la forma $c=a+b$ con $a,b$ arbitrarios y no dependientes de un épsilon.

[The Higgs Particle]

Re: Demostración de supremos

Pues entonces no tengo ni idea de cómo hacer el ejercicio

[angel relativamente]

Re: Demostración de supremos

Dejo una idea según yo lo entiendo. Básicamente tienes que demostrar que $L_a+L_b$ es el supremo de $C$. Esto es, que es cota superior y que es la menor de las cotas. El conjunto $C$ se define como los elementos que pueden ponerse como sumas de elementos de $A$ y $B$. Por tanto como $a\leq L_a$ y $b\leq L_b$ se tiene que $a+b \leq L_a + L_b$ y como $a,b$ son arbitrarios $a+b=c$ es un elemento arbitrario de $C$ y se tiene que $L_a + L_b$ es una cota superior de $C$. Con esto tienes que $L_c \leq L_a + L_b$. Ahora supón que $L_c < L_a + L_b$ e intenta llegar a un absurdo, con lo que te quedará $L_c=L_a + L_b$. El argumento para llegar al absurdo sería justificar que si $L_c$ es supremo, entonces cualquier elemento estrictamente mayor a él no pertenece a $C$, y por tanto no puede ponerse como suma de elementos de $A$ y de $B$. Sin embargo sí que pueden existir elementos $x$ entre $L_c<x<L_a + L_b$ tales que $x=a'+b'$, por ser $L_a$ y $L_b$ la menor de las cotas respectivas, y por tanto $L_c< x\in C ! !$

Ya me dirás cómo lo ves, lo he improvisado un poco.

Saludos

- - - Actualizado - - -

Recito esto para aclarar una sutileza

Es la forma que tiene mi profesor de decir que el supremo es la menor de las cotas superiores: en cuanto le quitemos un poco ($- \varepsilon$), ya está dentro del conjunto del que es cota superior, de forma que habrá algún $c \in E$ | $c > L_c - \varepsilon$

Ten en cuenta que eso es solo válido para intervalos, ni tan siquiera lo es para unión arbitraria de intervalos o para puntos discretos. Es cierto que si $L_c$ es supremo, $\forall \epsilon>0$ se tiene que $L_c - \epsilon$ NO podrá ser cota superior de ningún modo, pero no por ello ha de pertenecer al conjunto. Por ejemplo, piensa en el conjunto $C=(0,1)\cup \{7 \}$. El supremo es 7 y si le quito un poquito no estoy dentro del conjunto. Eso si, salvo que el conjunto C sea exclusivamente un punto (donde por tanto su supremo es el mismo punto) entonces siempre existirá al menos un $\epsilon>0$ tal que $L_c - \epsilon \in C$. En el ejemplo que te he puesto antes, podría ser $\epsilon =6.5$. Observa sin embargo que hemos abandonado ese para todo

[Take It Easy]

Re: Demostración de supremos

Aquí va mi intento. No sé si está bien pero puede ser un camino.
Sea $\alpha=sup(A)$
$\beta=sup(B)$
$\delta=sup(C)$

Se sabe que:
$\exists{a_0}\in \mathbb{A}:a_0>\alpha-\frac{\varepsilon}{2},\forall\varepsilon>0$
$\exists{b_0}\in \mathbb{B}:b_0>\beta-\frac{\varepsilon}{2},\forall\varepsilon>0$

Como $\delta$ es una cota superior de $C$,
$\delta\geqslant{a+b},\forall a,b$, entonces
$\delta\geqslant{a_0+b_0}>(\alpha+\beta)-\varepsilon,\forall\varepsilon>0$, es decir
$\alpha+\beta<\delta+\varepsilon,\forall\varepsilon>0$, que implica que
$\delta\geqslant\alpha+\beta$

Supongamos que $\alpha+\beta<\delta$
Entonces ha de existir $c_0 \in \mathbb{C}$ tal que $\alpha+\beta<c_0\leq \delta$, pero entonces:
$a+b\leq\alpha+\beta<c_0\leq \delta,\forall{a,b}$, que es una contradicción, ya que $c_0=a+b$ para algún $a$ y algún $b$.
Entonces es falso que $\alpha+\beta<\delta$ y ha de ser:
$\alpha+\beta=\delta$