Otras carreras Demostración existencia sucesiones

[alexpglez]

"Demostrar que si $A \subset R$ está acotado superiormente, existe una sucesión $\{a_n\}$ con $a_n \in A$ y tal que $\lim_{n \to \infty} a_n=sup A$"


Yo he optado por, dado cualquier conjunto A dar una sucesión que cumpla eso, con lo cuál sabemos que existen sucesiones que cumplen eso:
1- Si A está definida como $A=(- \infty,s]$ ó $(a,s]$, si definimos una sucesión tal que $\forall n \in N x_n \in A$ y $\forall n>n' x_n=s=sup(A)$ entonces $\lim_{n \to \infty} x_n=A$.
2- Si A está definida como $A=[\cup_{i=0}^{N-1} (a_i,a_i+1) ]\cup (a_N,a_N+1]$ (donde los intervalos de la unión pueden también ser cerrados) entonces definimos $A'=(a_0,a_N+1]$ entonces (por el caso anterior) podemos encontrar una sucesión $\{x'_n\}$ en A', y así definimos la subsucesión $\{x_n\}=\{x_n'|x_n' \in A\}$, con el mismo límite.

3- Si $sup(A) \not\in A$, como podemos demostrar que cualquier sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite y éste es el supremo sólo nos faltaría buscar que además el supremo de la sucesión coincida con el de A. Esto es sencillo de lograr puesto que $\lim_{n \to \infty}x_n=sup\{x_n\}=L$ entonces $\lim_{n \to \infty}(x_n+a)=sup\{x_n+a\}=L+a$ sólo hay que buscar que $L+a=sup(A)$. Nos falta demostrar que existen sucesiones crecientes y acotadas como $x_n=-\frac{1}{n}$, y con las reestricciones anteriores $\{x'_n\}=\{-\frac{1}{n}+sup(A) | (-\frac{1}{n}+sup(A))\in A\}$.


No sé si esto es correcto, además ahora que me fijo, el tercer punto sirve como ejemplo de 1- y 2-. Pero digo yo que quizá me tengan que pedir algo más formal, no¿?

[angel relativamente]

Re: Demostración existencia sucesiones

Hola alex. Intentando sintetizar la casuística observo lo siguiente: Si $s\in A$, en efecto la sucesión $x_n=s$ vale y ya está. Si $s\neq A$, entonces necesariamente $(a,s)\subset A$ para algún $a<s$. Es innecesario ver la forma del conjunto $A$ completo, tan solo lo que queda "cerca" de $s$.
Saludos,

[alexpglez]

Re: Demostración existencia sucesiones

Entonces: $(a,s) \subset A$, cualquier sucesión creciente y acotada en $(a,s)$ tiene límite y es s faltaría decir¿? Dando además un ejemplo de sucesión creciente y acotada como la de mi ejemplo.

Entiendo que me he explayado mucho (ya que no lo creía tan simple el ejercicio y entonces he indicado las condiciones que tendría que cumplir) y es bastante simplificable con lo que has señalado...

Gracias, saludos

[angel relativamente]

Re: Demostración existencia sucesiones

Sí, con eso bastaría. No obstante lo de $-1/n$ ya sabes que no necesariamente ha de estar en $A$, y a mi juicio (no sé si lo he entendido bien) no queda muy claro "imponer que estén en A". Te dejo una sucesión a ver qué te parece: $x_n=s-\dfrac{s-a}n, \quad \forall n>0$. Observa que $x_1=a$, que es creciente y que $\lim_{x\to \infty} x_n = s$. Entiendo que era algo así lo que querías decir.

Saludos,

PD: Tal como la he hecho necesariamente ha de ser que $a\in A$. No obstante, el intervalo podría ser $[a,s)$ sin problema ya que lo único que impongo es que $[a,s)\subset A$ para algún $a<s$.

PD2: Y entiendo también que dando esa sucesión, donde se ve claramente que el límite es s, no hace falta ni que digas que es creciente y el límite por tanto es el supremo, pues también puede haber sucesiones no crecientes cuyo límite lo sea.