1r ciclo Límite logaritmos

[The Higgs Particle]

Me piden calcular este límite:

$\lim_{x \to \infty} \dst \frac{ \log(x^4+x^2+1) }{ \log(x^{10}+x^7+100) }$

Gráficamente he visto que tiende a $0.40$, pero a la hora de calcularlo no sé ni por dónde empezar

[Alriga]

Re: Límite logaritmos

Me piden calcular este límite:

$\lim_{x \to \infty} \dst \frac{ \log(x^4+x^2+1) }{ \log(x^{10}+x^7+100) }$

Gráficamente he visto que tiende a $0.40$, pero a la hora de calcularlo no sé ni por dónde empezar

¿Has probado con la Regla de l'Hopital? Derivando el numerador y el denominador sale:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y ahora solo queda hacer operaciones, y el límite será el de una sencilla fracción racional. Y si se miran los sumandos de mayor grado del polinomio numerador y el polinomio denominador, directamente se ve:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Límite logaritmos

Muchas gracias. La cosa es que ya nos han advertido que utilicemos lo mínimo posible a L'Hôpital y que van a ir a pillarnos con él. Me entra pánico cada vez que sólo me sale un límite utilizándolo

[Richard R Richard]

Re: Límite logaritmos

Si no usas L'Hôpital lo que puedes hacer es...
Como sabes que en cada polinomio lo que tenderá a infinito mas rápido es el termino de mayor exponente puedes despreciar los terminos de menor grado ... Te queda la división de dos logaritmos de la misma variable a distintos exponentes que lo puedes resolver aplicando solo las propiedades de los logaritmos llegando efectivamente a 0.4

[Alriga]

Re: Límite logaritmos

... La cosa es que ya nos han advertido que utilicemos lo mínimo posible a L'Hôpital y que van a ir a pillarnos con él. Me entra pánico cada vez que sólo me sale un límite utilizándolo

Me parece absurdo que os presionen para no usar una de las herramientas más poderosas que hay para el cálculo de límites.

En este caso particular puedes aplicar que en un polinomio que tiende a infinito el término representativo es el de mayor grado:

$\dst \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \log(x^4+x^2+1) }{ \log(x^{10}+x^7+100) }=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to \infty} \dfrac{ \log(x^4+ \cdots) }{ \log(x^{10}+ \cdots)}=$

$\dst =\lim_{x \to \infty} \dfrac{ \log x^4}{\log x^{10}}=\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 4\log x}{ 10\log x}=\dfrac 2 5$

Saludos.

[Weip]

Re: Límite logaritmos

Muchas gracias. La cosa es que ya nos han advertido que utilicemos lo mínimo posible a L'Hôpital y que van a ir a pillarnos con él. Me entra pánico cada vez que sólo me sale un límite utilizándolo

Me parece absurdo que os presionen para no usar una de las herramientas más poderosas que hay para el cálculo de límites.

Es posible que vaya errado, pero igual The Higgs Particle se refiere a lo siguiente. En su día a mí también me advertían intensamente sobre usar lo mínimo la regla de L'Hôpital. No porque mis profesores quisieran desmerecerla, sino porque la inmensa mayoría de alumnos que llegan a la universidad no están acostumbrados a comprobar las hipótesis de la regla de L'Hôpital (y de los teoremas en general; yo era uno de ellos). Por desgracia muchísima gente la aplica directamente sin pensar en las hipótesis y muchísimas veces al no ser aplicable la regla de L'Hôpital se llegan a resultados incorrectos, cuando lo recomendado es escribir un punto y coma, explicar en una línea a lo mucho porqué se puede usar la regla de L'Hôpital en el límite (si se puede usar, claro) y luego sí, aplicarla y continuar con el límite propuesto. A mi profesora le gustaba ponernos límites para pillarnos en esto. Pero no sé, esto lo tendrá que decir The Higgs Particle porque igual he visto paralelismos con mi experiencia que eran imaginarios. Sobre el problema, pues no puedo aportar más. Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Límite logaritmos

Cual sería la condición que no permite aplicar l'Hopital...según lo que he buscado es que las derivadas tienen que ser continuas ... Es decir un polinomio de exponentes negativos evaluado en el valor de ka discontinuidad ? Pregunto

[angel relativamente]

Re: Límite logaritmos

Además de la condición de ser continuas y derivables, puede ser que al aplicar L'hopital te quede un límite que no exista mientras que el límite original sí existe. El teorema de L'hopital dice que si existe el límite en el cociente de derivadas entonces existe el original pero no dice nada de la implicación contraria. Por ejemplo, $\dst \lim_{x\to \infty} \dfrac{\cos x + x }x=1$ pero al aplicar l'hopital se tiene que $\dst \nexists \lim_{x\to \infty}(1-\sin x )$

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Límite logaritmos

Es posible que vaya errado, pero igual The Higgs Particle se refiere a lo siguiente. En su día a mí también me advertían intensamente sobre usar lo mínimo la regla de L'Hôpital. No porque mis profesores quisieran desmerecerla, sino porque la inmensa mayoría de alumnos que llegan a la universidad no están acostumbrados a comprobar las hipótesis de la regla de L'Hôpital (y de los teoremas en general; yo era uno de ellos). Por desgracia muchísima gente la aplica directamente sin pensar en las hipótesis y muchísimas veces al no ser aplicable la regla de L'Hôpital se llegan a resultados incorrectos, cuando lo recomendado es escribir un punto y coma, explicar en una línea a lo mucho porqué se puede usar la regla de L'Hôpital en el límite (si se puede usar, claro) y luego sí, aplicarla y continuar con el límite propuesto. A mi profesora le gustaba ponernos límites para pillarnos en esto. Pero no sé, esto lo tendrá que decir The Higgs Particle porque igual he visto paralelismos con mi experiencia que eran imaginarios. Sobre el problema, pues no puedo aportar más. Saludos.

Esto es mi vida este año

Además de la condición de ser continuas y derivables, puede ser que al aplicar L'hopital te quede un límite que no exista mientras que el límite original sí existe. El teorema de L'hopital dice que si existe el límite en el cociente de derivadas entonces existe el original pero no dice nada de la implicación contraria. Por ejemplo, $\dst \lim_{x\to \infty} \dfrac{\cos x + x }x=1$ pero al aplicar l'hopital se tiene que $\dst \nexists \lim_{x\to \infty}(1-\sin x )$

Claro, pero el problema lo tengo para demostrar que $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} f'(x) = L$, con $L \in$ $\left\{ - \infty, + \infty \right\}$. Creo que la única forma que conozco para demostrar que no existe un límite es crear dos subsucesiones y comprobar que su límite es diferente. En este caso, con los logaritmos, por ejemplo, no sabría cómo demostrar que sí existe el límite original

[carroza]

Re: Límite logaritmos

Me parece absurdo que os presionen para no usar una de las herramientas más poderosas que hay para el cálculo de límites.

En este caso particular puedes aplicar que en un polinomio que tiende a infinito el término representativo es el de mayor grado:

$\dst \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \log(x^4+x^2+1) }{ \log(x^{10}+x^7+100) }=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to \infty} \dfrac{ \log(x^4+ \cdots) }{ \log(x^{10}+ \cdots)}=$

$\dst =\lim_{x \to \infty} \dfrac{ \log x^4}{\log x^{10}}=\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 4\log x}{ 10\log x}=\dfrac 2 5$

Saludos.

Una alternativa, un poco más robusta, ya que no requiere ignorar unos infinitos frente a otros, consiste en recordar las propiedades de los logaritmos:


$\log(x^4 + x^2 + 1) = \log(x^4(1 + x^{-2} + x^{-4})) = 4 \log(x) + \log(1 + x^{-2} + x^{-4})$

A partir de aqui, el segundo sumando se anula cuando $x \to \infty$ y el limite sale muy facil.

Saludos

[Weip]

Re: Límite logaritmos

Además de la condición de ser continuas y derivables, puede ser que al aplicar L'hopital te quede un límite que no exista mientras que el límite original sí existe. El teorema de L'hopital dice que si existe el límite en el cociente de derivadas entonces existe el original pero no dice nada de la implicación contraria. Por ejemplo, $\dst \lim_{x\to \infty} \dfrac{\cos x + x }x=1$ pero al aplicar l'hopital se tiene que $\dst \nexists \lim_{x\to \infty}(1-\sin x )$

Saludos

Mira justamente ahora iba a entrar para editar y poner ese mismo ejemplo. Supongo que es el más sencillo. Pongo otro ejemplo en el que se vea lo arriesgado que puede ser a veces aplicar la regla sin pensar. En el caso de $\dst\lim_{x \to \infty}\dst\frac{\sqrt{x^2+2}}{x}$ L'Hôpital no sirve porque se entra en un bucle: al aplicar la regla dos veces se vuelve al límite inicial. En realidad se puede resolver con esto y pensando un poco más, pero habitualmente la gente se encalla al ver que ha entrado en un bucle. En fin, la conclusión es que siempre que apliquemos un teorema, hemos de mirar las hipótesis y además hemos de pensar, porque suelen haber otros caminos mejores para resolver un límite.