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[alexpglez]

Cómo se resolvería la integral:

$$lim_{a \to \infty} \int_{0}^a e^{ikx^2} dx$$

Con $k \in R$.

No la he dado ni tengo ni idea de cómo resolverla, parece una gaussiana...

De hecho lo había visto antes aunque de manera errónea, integrando una gaussiana y después tomar $k$ complejo.
Del análisis real se deduce:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{k}} \;\;\; k \in R^+$$

Luego:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{-ik}}$$

Aunque entiendo que el procedimiento es incorrecto, el resultado que da en los cursos que voy siguiendo se utiliza posteriormente, luego supongo que el resultado es correcto.
¿Quería también preguntar sobre por qué está "bien" el razonamiento, utilizando el análisis complejo quizá se pueda justificar?

Gracias, saludos.

[Alriga]

Re: Duda con integral

¿Y desdoblándolo en 2 integrales así?

$\dst \int_0^{\infty}e^{ikx^2} dx=\dst \int_0^{\infty} \cos (k x^2) dx+i \dst \int_0^{\infty} \sin (k x^2) dx$

Saludos.

[Weip]

Re: Duda con integral

Cómo se resolvería la integral:

$$lim_{a \to \infty} \int_{0}^a e^{ikx^2} dx$$

Con $k \in R$.

No la he dado ni tengo ni idea de cómo resolverla, parece una gaussiana...

De hecho lo había visto antes aunque de manera errónea, integrando una gaussiana y después tomar $k$ complejo.
Del análisis real se deduce:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-kx^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{k}} \;\;\; k \in R^+$$

Luego:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{-ik}}$$

Aunque entiendo que el procedimiento es incorrecto, el resultado que da en los cursos que voy siguiendo se utiliza posteriormente, luego supongo que el resultado es correcto.
¿Quería también preguntar sobre por qué está "bien" el razonamiento, utilizando el análisis complejo quizá se pueda justificar?

Gracias, saludos.

Buenas. Tal como lo has hecho la idea es correcta lo que pasa es que hay que escribirla mejor. Tu sabes que:

$\dst\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\dst\int_{- \infty}^{\infty} e^{-z^2/2}dz=1$

Ahora hacemos $z=\sqrt{-2ik}x$:

$\dst\frac{\sqrt{-2ik}}{\sqrt{2 \pi}}\dst\int_{- \infty}^{\infty} e^{ikx^2}dx=1$

$\dst\frac{\sqrt{-ik}}{\sqrt{\pi}}\dst\int_{- \infty}^{\infty} e^{ikx^2}dx=1$

$\dst\int_{- \infty}^{\infty} e^{ikx^2}dx=\dst\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{-ik}}$

Y ya está. Todas las manipulaciones están bien desde el punto de vista del análisis complejo aunque no hay que meterse en harina realmente (suponiendo que la primera integral que he puesto la das por conocida; sino, teorema de los residuos).

PD: Por curiosidad, ¿donde te has encontrado esta integral?

[alexpglez]

Re: Duda con integral

Quería saber si evidentemente es justificable desde el punto de vista del análisis complejo, porque me dejó sorprendido el argumento. Aunque sea sencillo, prefiero dejar análisis complejo para aprender en otro momento.
Sólo un par de dudas:

$\dst\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\dst\int_{- \infty}^{\infty} e^{-z^2/2}dz=1$

Ahora hacemos $z=\sqrt{-2ik}x$

¿Los límites de integración (junto con el camino de integración) no deberían variar, puesto que no es lo mismo tomar el límite a $\infty$ que a $\frac{\infty}{\sqrt{-2ik}}$?

¿Podríamos hacer lo mismo para calcular $I=\int_{-\infty}^{\infty} exp(x^2/2)dx$? En tal caso no saldría: $I=-i\sqrt{2 \pi}$¿?

¿Cómo se haría usando análisis real?
Lo estoy intentando aunque con otra idea a la que ha indicado Alriga, la cual me parece algo complicada:

$$I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx^2}dx$$

$$I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x^2+y^2)}dxdy=\int_0^{2 \pi} \int_0^\infty e^{ikr^2}rdrd\theta=2 \pi \int_0^\infty e^{ikr^2}rdr$$

Haciendo un cambio de variable: $x=r^2$, $dx=2rdr$, cuando $r \to \infty$, $x \to \infty$

$$I^2=\pi \int_0^\infty e^{ikx}dx=\frac{\pi}{ik}e^{ikx}\vert_0^\infty =\frac{\pi}{ik} \lim_{x \to \infty}(e^{ikx}-1)$$

Pero el límite no existe... en dónde me he equivocado¿?

PD: Por curiosidad, ¿donde te has encontrado esta integral?

Siguiendo un curso sobre mecánica cuántica, ya había visto el vídeo, pero hasta hace un tiempo no caí en la "falacia". (Ya que usa análisis real en sus explicaciones para derivar las fórmulas como comenté)
https://www.youtube.com/watch?v=dmgq..._vahmE0PHjBWQM

[Weip]

Re: Duda con integral

Hola. Solo unos comentarios rápidos, más tarde o mañana me podré explayar más.

¿Los límites de integración (junto con el camino de integración) no deberían variar, puesto que no es lo mismo tomar el límite a $\infty$ que a $\frac{\infty}{\sqrt{-2ik}}$?

Aquí no sé si te entiendo. Esa división da infinito.

¿Podríamos hacer lo mismo para calcular $I=\int_{-\infty}^{\infty} exp(x^2/2)dx$? En tal caso no saldría: $I=-i\sqrt{2 \pi}$¿?

Sí, se puede hacer, pero primero lo que se suele hacer es llevar la integral de los reales a los complejos, que básicamente es suponer que la variable es compleja en vez de real y entonces empiezas justo al principio de mi mensaje anterior. A partir de ahí es el mismo procedimiento que antes.

Edito: Creo que lo he entendido mal así que este ultimo párrafo déjalo pendiente de revisión , bueno, en otro momento vuelvo.

¿Cómo se haría usando análisis real?

En el momento en que tu integras una función compleja, tu integral es una integral compleja. Misma notación, propiedades parecidas, pero conceptualmente distintas. Por lo tanto una demostración 100% real no la encontrarás. Se pueden hacer cosas dependiendo un poco de lo que conozcas de la función Gamma de Euler pero más allá de esto no te puedo dar demostraciones más "reales".

[alexpglez]

Re: Duda con integral

Hola. Solo unos comentarios rápidos, más tarde o mañana me podré explayar más.

Aquí no sé si te entiendo. Esa división da infinito.

Lo tendría que ver quizá más formalizado, pero en mi opinión (nada técnica, sólo conceptual, creo que...) no es lo mismo tender un vector al punto $(0, \infty)$, que al punto $(\infty,0)$ ni al punto $\infty (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$, por eso mi duda sobre los límites de integración.

En el momento en que tu integras una función compleja, tu integral es una integral compleja. Misma notación, propiedades parecidas, pero conceptualmente distintas. Por lo tanto una demostración 100% real no la encontrarás. Se pueden hacer cosas dependiendo un poco de lo que conozcas de la función Gamma de Euler pero más allá de esto no te puedo dar demostraciones más "reales".

Perdon si no soy muy claro, estoy hablando de funciones $f:R \longrightarrow C$, y por tanto de integrales en las cuáles su valor es complejo pero la variable se mueve por el eje real.
Mi argumento en este aspecto es el anterior, sin embargo creo que es erróneo en el sentido que ya has visto, no parece tener límite...

[Weip]

Re: Duda con integral

Hola de nuevo.

Lo estoy intentando aunque con otra idea a la que ha indicado Alriga, la cual me parece algo complicada:

$$I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx^2}dx$$

$$I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x^2+y^2)}dxdy=\int_0^{2 \pi} \int_0^\infty e^{ikr^2}rdrd\theta=2 \pi \int_0^\infty e^{ikr^2}rdr$$

Haciendo un cambio de variable: $x=r^2$, $dx=2rdr$, cuando $r \to \infty$, $x \to \infty$

$$I^2=\pi \int_0^\infty e^{ikx}dx=\frac{\pi}{ik}e^{ikx}\vert_0^\infty =\frac{\pi}{ik} \lim_{x \to \infty}(e^{ikx}-1)$$

Pero el límite no existe... en dónde me he equivocado¿?

El fallo está cuando pasas a polares que es la primera vez que aparece una integral que no converge. Hasta donde yo sé lo que has escrito solo se puede hacer si tu función es absolutamente convergente. No es el caso.

[alexpglez]

Re: Duda con integral

Hola de nuevo.

El fallo está cuando pasas a polares que es la primera vez que aparece una integral que no converge. Hasta donde yo sé lo que has escrito solo se puede hacer si tu función es absolutamente convergente. No es el caso.

Mmm, no se me ocurre entonces como integrar tal monstruo (utilizando análisis en variable real)... ¿Alguna idea? Voy a seguir pensando.