Divulgación ¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita?

[alexpglez]

¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita?
Hoy mientras meditaba me he encontrado con esta duda. Me refiero a generalizar el cálculo en dimensiones sobre cualquier cardinal, ya sea finito, alef0 o alef1.

Lo más cercano que recuerdo ver en física, han sido las integrales funcionales, ese tipo de integrales que integras sobre cualquier valor de un funcional, obligando así a "sumar" todos los "caminos posibles" de las funciones.

Gracias, saludos.

[alar]

Re: ¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita?

Podría ser análisis funcional, (que es el estudio del espacio de funciones) aunque no sé muy a que te refieres, si a tener una función $f(x_{1},x_{2},...)$ y que coja infinitas variables o a espacios donde las bases son un conjunto infinito y tengas los conceptos típicos del cálculo y análisis, si es lo segundo es análisis funcional(espacios de hilbert, banach...) aunque no lo llamaría cálculo exactamente, si es lo primera ni idea.

[alexpglez]

Re: ¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita?

Me refiero a tener un número infinito de variables.

Gracias.

[carroza]

Re: ¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita?

Hola.

Cualquier campo tiene un numero infinito de variables. Por ejemplo, el campo eléctrico tiene, para cada punto en el espacio y el tiempo, un valor, dado por una variable vectorial $\vec E (\vec r, t)$. Como hay un numero infinito de puntos en el espacio y en el tiempo, el campo eléctrico viene definido por un número infinito de variables.

Saludos

[Alriga]

Re: ¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita?

... ¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita? ...

No estoy seguro de entender tu pregunta, y como no estaba seguro cuando la leí el fin de semana no contesté, esperando a ver si alguien aclaraba las cosas. ¿Te refieres a si hay alguna generalización del concepto de espacio vectorial en que la dimensión es infinita?

Si la pregunta es esa, la respuesta es sí como dice alar, por ejemplo un Espacio de Hilbert es una generalización del Espacio Euclídeo $\mathbb{R}^n$ cuando $n=\infty$

Tengo la “rigurosidad” y el formalismo matemático del tema completamente olvidados, por lo tanto coge esto con pinzas:

Así como un Espacio Vectorial viene caracterizado por una base, y el número de vectores de la base coincide con la dimensión del espacio vectorial, un espacio de dimensión infinita viene caracterizado por una base, pero ahora tendrá dimensión infinita.

Por ejemplo, en el espacio de los polinomios, una base es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por ejemplo el polinomio $2+3x^2-5x^6$ se expresa en esta base:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Creo recordar que esta base no tiene propiedades muy interesantes, hay otras bases mucho más útiles como por ejemplo los Polinomios de Legendre o los Polinomios de Chebishev, mira en Polinomios ortogonales

Otro ejemplo muy conocido es la base formada por las funciones

1, sin t, cos t, sin 2t, cos 2t, sin 3t, cos 3t, …

Que permite los Desarrollos en Serie de Fourier de funciones periódicas.

Evidentemente los Espacios de Hilbert son de dimensión infinita-numerable, sobre espacios con propiedades similares a los espacios vectoriales, pero de dimensión infinita no numerable, no he oído hablar nunca.

Si no es esto lo que preguntabas, perdona el rollo.

Saludos.

[alexpglez]

Re: ¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita?

Me refería a generalizar conceptos de integral, derivada, análisis, cálculo y geometría.

Por ejemplo, en mecánica clásica, tenemos que en cartesianas, un sólido en el vacío sigue la ecuación:

$$\ddot x_i=0 \;\; \forall i \in \{0,1,2\}\equiv 3$$

Parece aquí fácil generalizar para n, $\ddot x_i=0 \;\; \forall i <n$. Pero y para un número infinito, digamos que:

$$\ddot x_i=0 \;\; \forall i \in \mathbb N$$

O:

$$\ddot x(y)=0 \;\; \forall y \in \mathbb R$$

A su vez, una integral por de un hipervolumen de orden n es:

$$\int_V f(x_1...x_n) dx_1...dx_n$$

Pero ¿y si n es infinito? $i \in \mathbb N$:

$$\int_V f(x_i) dx_1...dx_n...dx_{\infty}$$

O incluso, $i \in \mathbb R$:

$$\int_V f(x_i) dx_{-\infty}...dx_{0}...dx_{0.001}...dx_{0.1} ...dx_{10.6}...dx_{\infty}$$

No sé si se puede extender estas ramas de la matemática a dimensiones infinitas.

Gracias, saludos.

[carroza]

Re: ¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita?

En física se utilizan las integrales de camino https://es.wikipedia.org/wiki/Integr...cu%C3%A1ntica)
y las integrales funcionales https://es.wikipedia.org/wiki/Funcio...tem%C3%A1tica) que son integrales sobre espacios infinitos. No hay que confundir las integrales de camino con las integrales de línea, que son esencialemente una integral unidimensional a lo largo de una linea en el espacio.

Saludos

[Weip]

Re: ¿Existe el cálculo en espacios de dimensión infinita?

Evidentemente los Espacios de Hilbert son de dimensión infinita-numerable, sobre espacios con propiedades similares a los espacios vectoriales, pero de dimensión infinita no numerable, no he oído hablar nunca.

Buenas, sé que este hilo es de hace tiempo pero releyendo tu mensaje he pensado que estaría bien a modo de curiosidad poner un ejemplo de espacio de Hilbert de dimensión infinita no numerable. El conjunto de funciones cuasiperiódicas (funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ definidas por $f(t)=\sum_{k=1}^n a_ke^{i\omega_kt}$) es un espacio de Hilbert con el producto escalar:

$\left< f, g\right>=\dst\lim_{T\to\infty}\dst\frac{1}{2T}\dst\int_{-T}^T \overline{f(t)}g(t)dt$

Se puede ver que $\left\{ e^{i\omega t}: \omega\in\mathbb{R}\right\}$ es una base ortonormal y tiene un número de elementos no numerable pues hay una función distinta para cada $\omega\in\mathbb{R}$.