1r ciclo Duda superficies de nivel.

[Forseti]

Buenas tardes, estaba mirando ejercicios de conjuntos y superficies de nivel y estoy atascado con este:

Encuentra la función $f(x,y,z)$ tal que sus superficies de nivel $f(x,y,z)=c$ son planos que cortan el eje x, el eje y y el eje z en $c^3, 2c^3, 3c^3$ respectivamente.

Yo estaba intentando igualar la función a c en las intersecciones, quedando:

$f(x,0,0)=c^3$


$f(0,y,0)=2c^3$


$f(0,0,z)=3c^3$

De esta forma, como la función es lineal (las superficies de nivel deben ser planos) ya estaría definida la función, pues los puntos que tomamos son linealmente independientes.

Quedaría la función $f(x,y,z)=c^3x+2c^3y+3c^3z$

¿Sería una forma correcta de resolver el ejercicio?

Gracias de antemano.

[Richard R Richard]

Re: Duda superficies de nivel.

Hola Forseti si $f(x,y,z)=c$ entonces cuando corte el eje x en $c^3$ tendrás
$f(c^3,0,0)=c$

Asi
$f(0,2c^3,0)=c$
Y
$f(0,0,3c^3)=c$

Entonces
$f(x,y,z)=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{\dfrac y 2}+\sqrt[3]{\dfrac z 3}$

Saludos

[Forseti]

Re: Duda superficies de nivel.

Hola Forseti si $f(x,y,z)=c$ entonces cuando corte el eje x en $c^3$ tendrás
$f(c^3,0,0)=c$

Asi
$f(0,2c^3,0)=c$
Y
$f(0,0,3c^3)=c$

Entonces
$f(x,y,z)=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{\dfrac y 2}+\sqrt[3]{\dfrac z 3}$

Saludos

Tengo otra duda. ¿Cómo deduces que la función es así?
Si fuese lineal lo tendría claro, pero en este caso sigo sudando.

[Richard R Richard]

Re: Duda superficies de nivel.

Fíjate que decir que existe una función cuyo valor es constante para todo juego de tres variables , fija una relación entre esas variables.
es decir cada valor de c fija una relacion entre variables y crea un nueva superficie.

Por ejemplo si despejas z de la funcion f(x,y,z) tienes

$z=3\left (c-\sqrt[3]x-\sqrt[3]{\dfrac y2}\right )^3$
Y
Variando el valor de c cambias el valor del nivel de la curva.
Si reemplazas los valores de corte de los ejes x e y veras que la coordenada z es nula.

[teclado]

Re: Duda superficies de nivel.

Hola, nunca he trabajado con superficies de nivel, pero creo que Richard R Richard se equivoca. Fíjate en que el enunciado dice explícitamente que f(x,y,z)=c es un plano. Esto restringe las posibles formas de f a f(x,y,z)=Ax+By+Cz=c. Ahora sí, dando valores consigues las constantes:

$f(c^3,0,0)=Ac^3=c\Leftrightarrow A=\frac{1}{c^2}$
$f(0,\frac{c^3}{2},0)=\frac{Bc^3}{2}=c\Leftrightarrow B=\frac{2}{c^2}$
$f(0,0,\frac{c^3}{3})=\frac{Cc^3}{3}=c\Leftrightarrow C=\frac{3}{c^2}$

Y

$f(x,y,z)=\frac{x}{c^2}+\frac{2y}{c^2}+\frac{3z}{c^2}$

Un saludo

[Alriga]

Re: Duda superficies de nivel.

Yo para intentar entenderlo mejor, me hago la imagen de que f(x,y,z)=V(x,y,z) es un Potencial Eléctrico.

Entonces, lo que pide el problema es equivalente a hallar Superficies Equipotenciales V(x,y,z)=cte Y te dice como dato que las superficies equipotenciales son planos y cortan a los ejes en determinados puntos.

Las superficies equipotenciales de un potencial de expresión:

$f(x,y,z)=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{\dfrac y 2}+\sqrt[3]{\dfrac z 3}$

efectivamente cumplen que cortan a los ejes en los puntos que exige el enunciado, pero no son planos, son superficies alabeadas de ecuación $z=3\left (c-\sqrt[3]x-\sqrt[3]{\dfrac y2}\right )^3$

Para que sean planos, a las superficies equipotenciales se les debe imponer, además de los puntos de corte correctos, que tengan como ecuación:

$Ax+By+Cz=c$

Y la forma de resolverlo, entiendo que es la que aporta teclado. Forzando que los cortes del plano con los ejes sean $x=c^3 \ , \ y=2c^3 \ , \ z=3c^3$ sale:

$f(x,y,z)=\dfrac{x}{c^2}+\dfrac{y}{2c^2}+\dfrac{z}{3c^2}$

Solo que creo que el enunciado no es muy afortunado, pues esta f(x,y,z) hallada no es una única función sino una familia de funciones de parámetro c. Si el enunciado dice "Encuentra la función..." despista un poco, pues parece que lo que te pide es una función exclusivamente de x, y, z, sin ningún otro parámetro, que es lo que ha intentado encontrar Richard

Las superficies de nivel son:

$\dfrac{x}{c^2}+\dfrac{y}{2c^2}+\dfrac{z}{3c^2}=c$

Que son planos de ecuación:

$6x+3y+2z=6c^3$

Y las 3 intersecciones con los ejes son las que exige el enunciado.

$y=z=0 \ \Rightarrow x=c^3$

$x=z=0 \ \Rightarrow y=2c^3$

$x=y=0 \ \Rightarrow z=3c^3$

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Duda superficies de nivel.

Hola agradecido por vuestras corrección ...en algún momento se me escapó la idea de que la superficie de nivel si o si era un plano.
Pero la función debe ser en ese caso
$f(x,y,z)=\dfrac{x}{c^2}+\dfrac{y}{2c^2}+\dfrac{z}{3c^2}=c$

Para que la función tenga devuelva c al tomar valores $c^3,2c^3,3c^3$ cuando los otros son nulos.

Pero redoblo la apuesta por una función no lineal .

Yo propongo que

$f(x,y,z)=(x-c^3)\cdot(y-2c^3)\cdot(z-3c^3)+c$

Esta función se reescribe así

$]f(x,y,z)=\underbrace{xyz}_{0}-\underbrace{c^3(2xz+yz+3xy)}_{0}+c^6(2z+6x+3y)-6c^9+c$

Puede verse que en las intersecciones con los ejes en los puntos dados queda definido un plano perpendicular al eje correspondiente y para cualquier valor de dicho plano el valor de la función es c.

Tal cual pasa con la función que proponen esta función utiliza el valor de c para ser definida. Y si se variara el valor del nivel de la curva la función no puede cambiar el valor de c con la cual fue definida porque sino c seria otra variable adicional.
Ahora bien el enunciado dice que en cada intersección con los ejes hay un plano de nivel c
Pero el enunciado habla en plural y vuestra solución es un único plano que intersectan a los ejes donde indica el enunciado.

Que opinan

[Al2000]

Re: Duda superficies de nivel.

Yo no creo que el hecho de que las superficies equipotenciales sean planos implique que la función deba ser lineal en $x,\, y,\, z$. Por ejemplo yo propongo la función $\dst f_{(x,y,z)} = \sqrt [3]{x + \frac y 2 + \frac z 3}$, variante menor de la propuesta por Richard y que cumple con los requisitos del enunciado. He pensado en algún otro ejemplo y he recordado que la función potencial de un filamento infinito cargado es una función logarítmica, mientras que las superficies equipotenciales son cilindros.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[carroza]

Re: Duda superficies de nivel.

Hola. Lo que dice Al es correcto. Creo que, en general, para que las superficies equipotenciales sean planos, la función debe tener la forma

$f(x,y,z) = g(Ax+By+Cz)$, gonde $g(w)$ es una función arbitraria, y su argumento $w=Ax+By+Cz$ es el que depende linealmente de las coordenadas $x,y,z$.

En nuestro caso, sin perdida de generalidad, puede tomarse $w = x + y/2 + z/3$, ya que cualquier factor global puede englobarse en la definición de $g(w)$.

Si ahora aplicamos la condición $f(c^3,0,0)=c$, nos queda $g(c^3) = c$, con lo que, si esto se cumple para todo c, $g(w) = w^{1/3}$.

Con todo esto, tendriamos $f(x,y,z) = (x + y/2 + z/3)^{1/3}$.

Saludos