1r ciclo Multiplicadores de Lagrange

[The Higgs Particle]

Hola, en este ejercicio, aunque creo que lo estoy planteando bien, soy completamente incapaz de resolver el sistema de ecuaciones, lo que me hace pensar que he cometido algún error intermedio que no consigo localizar.

Calcular el máximo y el mínimo de $f(x,y) = x-4y$ con $y+y^4 + |x^3+x| \leqslant 0$

Para empezar, podemos observar fácilmente que los extremos se encontrarán en el borde, ya que en el interior no hay ningún punto crítico:

$\dst \frac{\partial f}{\partial x} = 1$

$\dst \frac{\partial f}{\partial y} = - 4$

1. Supongamos el caso en el que $x>0$, entonces tenemos que $\partial C = \left\{(x,y,z) | y+y^4+x^3+x = 0 \right\}$. Si $g(x,y)=y+y^4+x^3+x$, debe cumplirse que:

$\nabla f = \lambda \nabla g \to (1,-4) = \lambda (3x^2+1,4y^3+1)$

Y, además, al estar en el borde, hay que añadir la condición de contorno. Así, nos encontramos con un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:

$\dst \left\{\begin{aligned} \lambda \left ( 3x^2 + 1 \right ) & =1 \\ \lambda (4y^3 + 1) & = -4 \\ y+y^4 + x^3 + x & = 0 \end{aligned} \right.<br />$

Intentando resolver esto me salen ecuaciones tremendamente complicadas y no consigo llegar a nada :/

[carroza]

Re: Multiplicadores de Lagrange

Hola.

Fijate que las lineas f(x,y)=constante tienen todas derivadas y'=1/4. Por tanto, tus soluciones deben ser puntos en la curva $y+y^4+x^3+x=0$, o bien en $y+y^4-x^3-x=0$, que cumplan y'=1/4.

Date cuenta que, cuando tengas el máximo o el mínimo, la linea f(x,y)=max debe ser tangente a tus curvas.

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Multiplicadores de Lagrange

Si te soy franca, no te he tendido muy bien :/

[carroza]

Re: Multiplicadores de Lagrange

A ver.

Imaginate en el plano x,y la zona donde quieres encontrar el máximo. Esta zona está limitada por las curvas $y + y^4 + x + x^3 =0$ y $y + y^4 - x - x^3 =0$. Estas dos curvas intersecan en los puntos $(0,0)$ y $(0,-1)$.

Ahora, imaginate una familia de curvas (rectas en este caso) $f(x,y) = x - 4y = C$. De estas rectas, algunas no atraviesan la zona de interes, algunas la atraviesan, cortando a las curvas en dos puntos, y solamente dos rectas son tangentes a las curvas, o bien pasan por los extremos de intersección. Estas dos rectas son las que te determinan el máximo y el mínimo.

Ps: si todavia no lo ves claro, dibuja tus dos curvas y una de las rectas $f(x,y) = x - 4y = C$. Y ahora imaginate desplazando esta recta paralelamente.

Saludos

[Weip]

Re: Multiplicadores de Lagrange

Hola, vengo a aportar una explicación con dibujos por si aún no te queda muy clara la explicación de carroza, que es buena, pero más que nada porque si nunca has visto este método geométricamente entonces todo esto de "las rectas tangentes a las curvas" y demás te sonará a chino.

[The Higgs Particle]

Re: Multiplicadores de Lagrange

Hola, vengo a aportar una explicación con dibujos por si aún no te queda muy clara la explicación de carroza, que es buena, pero más que nada porque si nunca has visto este método geométricamente entonces todo esto de "las rectas tangentes a las curvas" y demás te sonará a chino.

Gracias, porque es la primera vez que lo veo en mi vida y, aunque carroza lo explicara bien, era incapaz de saber siquiera de qué me estaba hablando. Entonces, lo que tengo que hacer es encontrar los puntos en los que $f(x,y)=x-4y=C$ son tangentes a las curvas - vamos, que tengan la misma pendiente -:

$y' +4y^3y' =1+3x^2 \to \dst \frac{1}{4} + y^3 = 1+ 3x^2 \to y^3 = 3x^2 + \dst \frac{3}{4}$

Es decir, los puntos en los que son tangentes son de la forma $\left( x_0, \dst \left(3x_0^2 + \frac{3}{4}\right)^{1/3} \right)$

En ese punto, la recta vale $y_0 = \dst \frac{x_0}{4} + C$, lo cual debe ser igual a lo que valga la curva: $y_0 + y_0^4=x_0^3+x_0$

Sustituyendo $y_0$ tengo una ecuación y dos incógnitas ($C, x_0$), cuando debería obtener un valor único para el punto. ¿Qué estoy haciendo mal?

[carroza]

Re: Multiplicadores de Lagrange

Hola.
Aunque mi autoestima docente esta por los suelos, te diría que tienes dos ecuaciones. La de la curva y la de su derivada. Y dos incógnitas, x e y.

Saludos.