1r ciclo Demostración de una igualdad

[Visitante]

Hola,
Tengo dudas con el siguiente ejercicio:
Demostrar lo siguiente
${x}^{ n}-{y}^{n }=(x-y)({x}^{n-1 }+{x}^{n-2 }y+...+x{y}^{ n-2}+{y}^{n-1 })$

Mi pregunta es si se puede demostrar usando las propiedades de los números, sé demostrarlo mediante inducción (sólo hay que sumar y restar ${x}^{n-1 }y$ y operando sale ¿Pero se puede de otra manera que no sea inducción?

[Breogan]

Re: Demostración de una igualdad

Hola:

El procedimiento mas sencillo y directo es el algebraico, empeza por hacer las distributivas del 2º miembro para luego anular los términos iguales pero de signo opuesto; y al final llegas a la expresión del 1º miembro (si no me equivoco ).

$x^ n-y^n=(x-y)(x^{n-1 }+x^{n-2 }y+...+x y^{ n-2}+y^{n-1 })$

$x^ n-y^n=x \ (x^{n-1 }+x^{n-2 }y+...+x y^{ n-2}+y^{n-1 }) -$ $y \ (x^{n-1 }+x^{n-2 }y+...+x y^{ n-2}+y^{n-1 })$
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s.e.u.o.

Suerte!

[Visitante]

Re: Demostración de una igualdad

Pero ¿Eso vale como demostración?

[Alriga]

Re: Demostración de una igualdad

Pero ¿Eso vale como demostración?

Evidentemente si partes de la expresión $(x-y)(x^{n-1 }+x^{n-2 }y+...+x y^{ n-2}+y^{n-1 })$

multiplicas como te ha explicado Breogan

$x \ (x^{n-1 }+x^{n-2 }y+...+x y^{ n-2}+y^{n-1 })-y \ (x^{n-1 }+x^{n-2 }y+...+x y^{ n-2}+y^{n-1 })$

operas

$x^{n}+x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+...+x^2 y^{ n-2}+x y^{n-1 }-$$x^{n-1}y-x^{n-2}y^2+...-x^2y^{n-2}-x y^{ n-1}-y^{n}$

y ahora simplificas y llegas a la expresión $x^n-y^n$

eso es un demostración completamente válida.

Saludos.

[pod]

Re: Demostración de una igualdad

Es totalmente equivalente a lo que han hecho Breogan y Alriga, pero quizá es más visual (para los que están acostumbrados a la notación) hacerlo con sumatorios. La proposición a demostrar es:

$$x^n - y^n = (x-y) \sum_{i=0}^{n-1} x^i y^(n-1-i) .$$

Trabajo sobre el segundo miembro, aplicando la distributiva (es decir, metiendo el factor x-y dentro del sumatorio) y convirtiéndolo en dos sumatorios:

$$(x-y) \sum_{i=0}^{n-1} x^i y^{n-1-i} = \sum_{i=0}^{n-1} x^{i+1} y^{n-1-i} - \sum_{i=0}^{n-1} x^{i} y^{n-i} .$$

Voy a trabajar sobre el primero de los sumatorios. Lo podría hacer con el segundo (o con los dos a la vez), daría lo mismo. Empiezo haciendo un cambio de índice (es similar al cambio de variables en integrales; hay que hacer el cambio tanto en los límites del sumatorio como en la expresión sumada)

$$\sum_{i=0}^{n-1} x^{i+1} y^{n-1-i} = \sum_{j=1}^n x^j y^{n-j} .$$

Recuerda que el índice del sumatorio es mudo, puedo cambiarle el nombre en cualquier momento. Incluso le podría volver a llamar $i$, aunque no me hace falta. Sólo digo ésto porque, al final, lo que quiero es meter esta igualdad en la ecuación (2) para ver que gran parte de los términos de los dos sumatorios se cancelan entre si. La forma más fácil de verlo es hacer más "gimnasia de índices" para forzar que los límites de ambos sumatorios vuelvan a ser iguales. El sumatorio que no he tocado de la ecuación (2) va de 0 a $n-1$, mientras que el que he obtenido al hacer el cambio de índice en la ecuación (3) va de 1 a n. Es decir a éste segundo segundo sumatorio le sobra el término con j=n y le falta un término con j=0. Lo que voy a hacer es aplicar la siguiente propiedad (que es obvia a partir de la definición de sumatorio):

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \sum_{j=1}^n a_j & = \sum_{j=1}^{n-1} a_j + a_n \\<br /> & = \big(a_ 0 + \sum_{j=1}^{n-1} a_j\Big) - a_0 + a_n \\<br /> & = \sum_{j=0}^{n-1} a_j + a_n - a_ 0 .<br /> \end{aligned}<br />$$

Metiendo esto en la (3) queda:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \sum_{i=0}^{n-1} x^{i+1} y^{n-1-i} & = \sum_{j=1}^n x^j y^{n-j} \\<br /> & = \sum_{j=0}^{n-1} x^j y^{n-j} - y^n + x^n .<br /> \end{aligned}$$

Con esto, ya podemos volver a la (2). No por casualidad vemos que los dos sumatorios que quedan son idénticos, tienen la misma expresión dentro y los mismos límites. La única diferencia es el nombre del índice, pero sabemos que eso es irrelevante: un sumatorio no cambia de valor al cambiar el nombre del índice. Como están restados, esos dos se anulan idénticamente entre ellos. Sólo nos quedan los términos "sueltos" que provienen de la equación (3), que completan la demostración.

Esta forma de manipular sumatorios, que puede despistar un poco al principio, es muy importante en física, por ejemplo al aplicar el método de Frobenius para resolver ecuaciones diferenciales; así que conviene dominarlo. Al final, las manipulaciones que hemos hecho son una forma más rimbombante de ver las cancelaciones que hay en las sumas, pero no por ello más riguroso: las dos mecánicas de hacerlo son igual de rigurosas y útiles para diferentes situaciones.

[Visitante]

Re: Demostración de una igualdad

La demostración que buscaba era la de POD, aquí otra duda ¿Cuándo podemos decir que una demostración es rigurosa? ¿El método de Breogan y Alriga es riguroso o formal?

[angel relativamente]

Re: Demostración de una igualdad

Rigurosa y formal quiere decir que no comete imprecisiones y que no tiene ambigüedades. La de Breogan-Alriga es sin duda rigurosa y formal. Otro concepto más subjetivo es el de "elegante". En mi opinión, una demostración (rigurosa) es elegante si es corta y lo más simplificada posible. La de Breogan-Alriga, dentro de lo que la pobreza del problema le permite, lo es. Una inducción sería, en mi opinión, menos elegante (aunque igual de rigurosa).

Saludos,

[Breogan]

Re: Demostración de una igualdad

Hola:

La demostración que buscaba era la de POD, aquí otra duda ¿Cuándo podemos decir que una demostración es rigurosa? ¿El método de Breogan y Alriga es riguroso o formal?

Ambas demostraciones son iguales, hacen uso de las mismas propiedades algebraicas del grupo (o era otro nombre, no me acuerdo..!!!), propiedades distributiva, asociativa, existencia del elemento neutro, etc.
Pareciera que hay una confusión entre forma y fondo, la utilización de la sumatoria como notación es una cuestión de forma que simplifica la escritura y la comprensión de la formulación, es posible que esta notación te la exijan en la cátedra pero no hace al fondo de la cuestión ya que las propiedades usadas son las mismas y el procedimiento es el mismo.

Hay otra forma de hacerlo, que en rigor no es una demostración sino la deducción de lo propuesto.
Partimos que lo que queremos hallar es:

$$\dst x^n - y^n = ( x - y) \ P_{n-1}(x , y) + R_{n}(x,y)$$

Donde $\dst P_{n-1}$ es un polinomio suma de momomios en x e y, donde cada cada monomio es de orden n-1; y $\dst R_{n}(x , y)$ es el resto que esta formado por monomios en x e y de orden n.
La formula (1) la podemos escribir:

$$\dst \frac {x^n - y^n} { x - y} = P_{n-1}(x , y) + \frac {R_{n}(x,y)}{x-y}$$

Si haces la división del 1º miembro de la formula (2), por el método que prefieras, vas a llegar a que:

$\dst P_{n-1}(x , y) = x^{n-1} + x^{n - 2} \ y + x^{n - 3} \ y^2 + ....... + x \ y^{n - 2} + y^{n - 1}$ $\dst = \sum_{i = 1}^n x^{n-i} \ y^{i-1}$

$\dst R_{n-1} (x , y) = 0$

s.e.u.o.

Suerte!

[carmelo]

Re: Demostración de una igualdad

Hola:


Usando Ruffini para dividir $\dfrac{x^n-y^n}{x-y}$


$\begin{matrix}<br /> &1&0&0&0&\ldots&0&0&0&-y^n\\<br /> y&&y&y^2&y^3&\ldots&y^{n-3}&y^{n-2}&y^{n-1}&y^{n}\\<br /> &1&y&y^2&y^3&\ldots&y^{n-3}&y^{n-2}&y^{n-1}&0<br /> \end{matrix}$

Y por lo tanto:

$\dfrac{x^n-y^n}{x-y}=x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+x^{n-4}y^3+\ldots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1}$


Saludos
Carmelo