1r ciclo Expresión diferencial del recorrido angular

[WolfSea]

Como podría encontrar la expresión diferencial que expresa la longitud recorrida por ejemplo de una aguja de un vinilo en función del ángulo?
La formula clave sería la de Longitud del arco = Radio x angulo? y si es así que debo integrar para llegar a esta expresión? o simplemente es alguna de las formulas de MCUA?

[Alriga]

Re: Expresión diferencial del recorrido angular

Hola WolfSea, bienvenido a La web de Física. Por favor, como nuevo miembro, en primer lugar lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

El surco de un tocadiscos es un "trozo" de una Espiral de Arquímedes. La ecuación en polares, con $a \in \mathbb R, \ a>0$ es:

$r=a \ \cdot \theta$

Que en cartesianas se convierte en:

$x=a \cdot \theta \ \cos \theta$

$y=a \cdot \theta \ \sin \theta$

El diferencial de longitud es:

$ds=a \ \sqrt{1+\theta^2} \ d\theta$

Integrando se obtiene que la longitud entre $\theta_1$ y $\theta_2$ es:

$l=\dfrac 1 2 \ a \ \Big [ \theta \ \sqrt{1+\theta^2}+\ln \Big ( \theta+\sqrt{1+\theta^2} \Big ) \Big ]_{\theta_1}^{\theta_2}$

Saludos.