1r ciclo Bien definido

[Visitante]

Esto es algo con lo que me tropiezo mucho en análisis y no estoy muy seguro de lo que significa ¿Qué es que una función está bien definida? ¿Y qué algo está bien definido? ¿Cómo lo demuestro?

[Alriga]

Re: Bien definido

Si no recuerdo mal en mis tiempos decíamos que una función estaba bien definida en un conjunto A si:

- Todo elemento de A tiene imagen por la función, (es decir, no hay ninguno que no la tenga)
- La imagen de cada elemento de A es única, es decir no hay ningún elemento de A que tenga más de una imagen.

Por ejemplo la función real $y=\sqrt x$ no está bien definida en $\mathbb R$

Hay elementos de $\mathbb R$ que no tienen imagen, por ejemplo -1
Hay elementos de $\mathbb R$ que tienen más de una imagen, por ejemplo el 4, ya que $\sqrt 4=2$ y también $\sqrt 4=-2$

Supongo que en estos tiempos continuará significando lo mismo, saludos.

[Weip]

Re: Bien definido

Esto es algo con lo que me tropiezo mucho en análisis y no estoy muy seguro de lo que significa ¿Qué es que una función está bien definida? ¿Y qué algo está bien definido? ¿Cómo lo demuestro?

Es de esas cosas que todos los profesores usan pero nunca dicen qué significa. Yo en primero también estaba confundido. A parte de lo que ha dicho Alriga, en general un concepto matemático está bien definido cuando se cumple lo que dice la definición. Esta cuestión suele surgir cuando tienes que definir una aplicación que, a priori, parece depender de cierta elección. Entonces lo que has de hacer es probar que efectivamente la definición no depende de esa elección particular. Escucharás mucho esto de "la aplicación está bien definida" en álgebra lineal o en alguna asignatura de conjuntos cuando des el espacio/conjunto cociente.

[Visitante]

Re: Bien definido

¿Entonces sería como demostrar que la definición se cumple?
Es que lo que ha dicho Alriga es como la definición de función.

[Alriga]

Re: Bien definido

Por ejemplo, la función real de variable real

$f(x)=A \cos x$

Está bien definida para todo $A$ real

En cambio, la función real de variable real

$f(x)=a^x$

definida como

$a^x=\exp (x \cdot \ln a)$

No está bien definida para $a \leq 0$

Otro ejemplo, con $a, \ b \in \mathbb Z \ / \ b \neq 0$, sea la función

$f: \ \mathbb Q \ \longrightarrow \ \mathbb Z$

$f \Big(\dfrac a b\Big)=a+b$

La función no está bien definida, puesto que

$f \Big(\dfrac 1 3\Big)=4$

$f \Big(\dfrac 3 9\Big)=12$

Pero $\dfrac 1 3$ y $\dfrac 3 9$ son el mismo número racional, en cambio su imagen no es la misma.

Saludos.

[Weip]

Re: Bien definido

Quiero comentar una cosa a la hora de hacer ejercicios y escribirlos con detalles. Hay que pensar que expresiones como $f(x)=x^2$ no tienen sentido si no se da el dominio y la imagen de la función porque sin esta información es imposible ver si la función está bien definida o no. Esto es porque conceptos como la inyectividad o la exhaustividad dependen de ellos. Por ejemplo $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$ no es inyectiva pero $f:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$ sí que lo es. Este tipo de cuestiones también surgen con la raíz cuadrada o la exponencial que ha puesto Alriga como ejemplos, o con las funciones trigonométricas. Así que a la hora de demostrar si una función está bien definida o no también hay que tener en cuenta quién son el dominio y la imagen (fíjate que en la definición de Alriga aparecen; no tienen un papel secundario precisamente).

[alexpglez]

Re: Bien definido

Hola!

Querría comentar algo que no sé si está muy claro. La expresión "estar bien definido" no significa nada en matemáticas, aunque por el contrario, resulte útil utilizarla.
Toda función "está bien definida" (así como cualquier objeto que definas en matemáticas lo está). Decir que la función "no está bien definida" es lo mismo que decir que no es una función. En los ejemplos que ha puesto Alriga se ve muy bien:

$f: \ \mathbb Q \ \longrightarrow \ \mathbb Z$

$f \Big(\dfrac a b\Big)=a+b$

Tal $f$ no es una función, porque cada racional no es asignado a un único entero. Ahora bien, cuando yo afirmo que "$f$ no es una función", un matemático podría decir: "$f$ es una función que no está bien definida". El motivo es asociar a la palabra criterio (en nuestro caso la $f$) a la palabra función cuando parece que el criterio define una función.

Vamos a ver un ejemplo, pero antes quiero introducir un poco de notación conjuntista con lo que quizá se vea más claro (no sé si te la han introducido alguna vez en clase). Dado un conjunto $F$ definimos (recuerdo que el símbolo $\equiv$ quiere decir "por definición es lo mismo que.."):
F es unívoca (para cada $x$, si $F$ le asigna un valor este es único):

$$UnF\equiv \forall xyz ((x,y) \in F \wedge (x,z) \in F \rightarrow y=z)$$

F es una función (además de ser unívoca, una función sólo tiene pares ordenados):

$$FnF \equiv UnF \wedge \forall z \in F \exists xy \; z=(x,y)$$

El dominio y el recorrido de un conjunto se define (los [TEX] x /TEX] tales que se le asigna algún [TEX], y los $y$ tales que provienen de algún $x$):

$$DF\equiv \{x | \; \exists y \; (x,y) \in F\} \;\;\;\;\; RF \equiv \{y | \; \exists x \; (x,y) \in F$$

Finalmente, decimos que $F$ es una función o aplicación del conjunto $A$ al conjunto $B$ si:

$$F:A \longrightarrow B \equiv Fn F \wedge DF=A \wedge RF\subset B$$

Es decir, F es una función de A en B, si es una función y A es el dominio y el recorrido está contenido en B.

Es útil verlo de esta manera, por una parte para ver exactamente en qué punto de la definición falla una $f$ y porqué no es una función, y por otra parte por qué demostrar por qué un determinado conjunto es una función. En el anterior ejemplo no se cumplía que la aplicación fuese unívoca, aunque si que cumplía las condiciones sobre el dominio, el recorrido (y claramente hablamos siempre de pares ordenados, así que aquí tampoco falla). En el otro ejemplo de la exponencial, fallaba la definición de dominio, si uno quería imponer que el dominio fuese todo $\mathbb R$, pues para valores de $a$ negativos, existen $x \in \mathbb R$ tales que no se les asigna ningún valor real.

Un ejemplo de criterio que si que es una función es el siguiente:

$$f:\mathbb Q \longrightarrow \mathbb Q$$

$$\frac{a}{b} \to \frac{2a}{b}$$

Aunque esto en principio no sea verdad, muchos matemáticos lo escriben en la pizarra para expresar que:

$$f=\{(x,y) \in \mathbb Q \times \mathbb Q | \; \exists a,b \in \mathbb Z (x=\frac{a}{b} \wedge y=\frac{2a}{b})\}$$

Demostremos se cumple que f es una función:
Trivialmente f está compuesto por pares de valores, notemos además que por definición, el dominio y el recorrido están contenidos en Q, por ejemplo:

$$\forall x \; (x \in Df \rightarrow \exists y (x,y) \in f \rightarrow (x,y) \in \mathbb Q \times \mathbb Q \rightarrow x \in \mathbb Q) \;\;\;\; Df\subset \mathbb Q$$

Así pues, sólo faltaría probar que $Q \subset Df$, es decir, que para todo elemento $x$ de Q podemos encontrar otro elemento $y$ (de Q) que $(x,y) \in Q$ y que f es unívoca. Lo primero se da (casi) por definición. Pues, como existen $a, b \in Z \; b \not =0 \;\; x=\frac{a}{b}$ nos vale el $y=\frac{2a}{b}$ que es una fracción pues $2a,b \in Z \;\; b \not=0$ (es importante comprobar que el denominador es no nulo).
Lo segundo puede ser más tedioso pues en principio tenemos que por hipótesis $(x,y) \in f \wedge (x,z) \in f$, es decir que existen números enteros tales que $x=\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'} \;\; y=\frac{2a}{b} \;\; z=\frac{2a'}{b'}$, nuestra pregunta es si $y=z$ es decir que si:

$$\frac{2a}{b}=\frac{2a'}{b'}$$

Que se da si por definición si y sólo si:

$$2ab'=2a'b$$

Y esto se da si y sólo si:

$$ab'=a'b$$

Y esto es lo mismo que:

$$\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$$

Que es algo que ya sabíamos, así pues concluimos que $y=z$. Así pues concluimos que f es unívoca y por tanto f es una aplicación de Q en Q.

Muchos matemáticos al enunciar qué es f dirían: "f es la función que le asigna a a/b el racional 2a/b". Y al acabar la demostración dirían: "concluimos que f es una función bien definida".

Como ejercicio para pensar (es algo complicado si uno no la ha visto antes), demostrar que la suma de racionales definida por:

$$+: \mathbb Q \times \mathbb Q \longrightarrow \mathbb Q \;\;\;\; \frac{a}{b},\frac{c}{d} \mapsto \frac{ad+bc}{cd}$$

Es una aplicación de QxQ a Q, también llamada operación (binaria) en Q.

PD: Me tiene intrigado en qué parte de análisis os han metido la expresión "función bien definida", pues se suele reservar al álgebra en temas parecidos a la construcción de los enteros de los naturales o de las fracciones de los enteros, pero también se usa el concepto en la construcción de los reales a partir de los racionales.