1r ciclo cos(n) diverge

[Visitante]

Hola,

He estado tratando de resolver este problema, pero no se me ocurre la idea.
Hay que demostrar que la sucesión cos(n) diverge...
Se me ocurre coger dos subsucesiones tales que sus límites sean diferentes, pero no sé muy bien cómo continuar.

[pod]

Re: cos(n) diverge

Más que diverger, lo que le pasa a esa solución es que no converge. No existe un límite, ni se va a infinito (que es lo que yo entendería por divergir).

La idea de las dos sucesiones te serviría muy bien si tuvieras una sucesión como $\cos (n \pi)$, o en general una del estilo $\cos (q n \pi)$ con $q \in \mathbb{Q} - \{0\}$.

Sin embargo, en esta no creo que te sirva esa táctica porque no hay ninguna periodicidad. Puedes recurrir a la definición de convergencia: para que converja a $L$, para todo $\varepsilon > 0$ debe existir un $N$ tal que para todo $n \ge N$ se cumpla $\Big| \cos(n) - L \Big| < \varepsilon$. La idea intuitiva es que $\cos n$ oscila entre -1 y 1 para todo $n$, así que si elijes uno podrás encontrar ningún L que haga que la diferencia sea menor a 2 para valores de n grandes, y por lo tanto la definición no se cumple para todo $\varepsilon$. Dejaré que tú lo formalices.

Pensando un poco más en tu propuesta de separar dos sucesiones... Quizá lo que sí puedes hacer es demostrar que para todo $N$, siempre existen $n > N$ tales que $\cos n > 1/2$ y otros tales que $\cos n < -1/2$. Esto te daría dos "subsucesiones" que tampoco tienen límite por separado, pero hace evidente que nunca vas a poder elegir un $\epsilon < 1$. No sé si a un matemático le gustaría algo así

[Fortuna]

Re: cos(n) diverge

¿El problema es la sucesión $\cos(n)$ converge o si la serie $\sum_{i=0}^\infty \cos(n)$ diverge?.

Si fuera una serie me he puesto con el Mapple a probar $f(N)=\sum_{n=0}^N \cos(n)$ ya que el límite infinito no se sabe cual es.

Después de unas pruebas defino la serie:

f:=n->sum(cos(i),i=0..n)-1/2;


Como es una función discreta de parámetro n, defino un arrary con las componentes [i,f(i)] Lo hacemos con 10000 puntos.

N:=10000:
F:=seq([j,f(j)],j=0..N):


la dibujamos

plot([F]);




Parece que es periódica, algo inesperado, pues esa función no veo motivo alguno para que sea periódica. Vamos a ver su serie de Fourier.

Preparo los datos para la serie de Fourier (Mapple es un poco coñazo con estas cosas), sobre todo si son datos discretos.

with(DiscreteTransforms):
Z := Vector(N,i->evalf(f(i))):
Z2 := FourierTransform(Z):
P:=[seq([n,abs(Z2[n])],n=1..N)]:
plot(P,style=point);



Hay un ancho no nulo en el espectro, tanto más estrecho, cuanto mayor sea N. Especulo que para infinitos datos, sólo hay un armónico.

A ver que valores son

for k from 1 to N/2 do;
if abs(Z2(k))>10 then print(k); end if;
od;
1591
1592
1593
1594

La media es 1592.5 para N=10000, y 160 para N=100. Esto define una constante de 0.15925 para el armónico al dividir entre el número de puntos. Ese valor resulta ser muy aproximado a $\dfrac{1}{2\pi}$



Me recuerda a la distribución de Dirac.

¿Algún matemático puede explicar este comportamiento.? (seguramente debe ser fácil aplicando la definición, pero me da pereza )

Saludos.

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Ya está la explicación en
http://forum.lawebdefisica.com/threa...835#post182835