2o ciclo Funciones con el mismo soporte - Distribuciones

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Hola, el otro día leí un libro, en el que decía que una función f(x) tenía el mismo soporte que otra. ¿a que se refiere?, ¿podríais poner un ejemplo de dos funciones así?

Gracias y un saludo.

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Re: Funciones con el mismo soporte - Distribuciones

Hola, el otro día leí un libro, en el que decía que una función f(x) tenía el mismo soporte que otra. ¿a que se refiere?, ¿podríais poner un ejemplo de dos funciones así?

Gracias y un saludo.

En este contexto, supongo que "soporte" se refiere al conjunto (normalmente un intervalo) que contiene todos los puntos del dominio para el cual la función no es cero. Por ejemplo, si el soporte de una función es [a, b], entonces $\forall x \not\in [a,b] \Longrightarrow f(x) = 0$ . En distribuciones normalmente se utilizan funciones prueba de soporte compacto.

Si no impones más condiciones que tener el mismo soporte, es muy fácil encontrar dos funciones con el mismo soporte. Por ejemplo, a partir de la función $\theta$ de Heaviside, puedes transformar cualquier función f para que su soporte sea [a, b]:

$$\hat f _{[a,b]} (x) = f(x) \, \theta(x-a) \, \theta(b-x) .$$

Aquí tienes no solo dos, sino infinitas funciones con el mismo soporte, ya que puedes poner cualquier función f(x). En distribuciones normalmente se usan funciones prueba infinitamente derivable, en todo $\mathbb{R}$, y esa condición lo hace algo más complicado, pero sigue siendo posible.