1r ciclo Principio de induccion completa

[BigMess]

Hola

No he sabido resolver este problema de inducción, si alguien tiene alguna idea de como hacerlo...

(2^(2n-1))/n<2n sobre n<2^(2n-1)

para todo natural n>=1

2n sobre n es un número combinatorio, que no sé como ponerlo

1)Probar que es cierto para n=1 (eso ya lo he hecho)
2)Probar que si se cumple para cierto m se cumple tambien para m+1 (la parte que no me sale)

He estado buscando libros con problemas de este tipo, pero la verdad es que no he encontrado ninguno

[gunbladecat]

Re: Principio de induccion completa

debes sustituir n por m y esa es tu Hipotesis de Induccion, luego tienes q jugar con las expresiones q te salgan al sustituir n por m+1 para que te de (alguna parte de la expresion) lo mismo que tu hipotesis de induccion para poder usarla sustituyendo (esta es la parte mas complicada quizas de la induccion)

ahora no voi a hacerlo pq voi a cenar q mñn me tengo q levantar temprano, pruebalo y si no te sale nos dices lo q has ido aciendo y mñn miro de echarte una mano mas a conciencia!

[BigMess]

Re: Principio de induccion completa

Hola, gracias por responder tan rápido.

La parte que no me sale es en la que sustituyes por m y por m+1 y tienes que hacer que te de lo mismo. Si ya he hecho más ejercicios, el que no me sale es ése en particular, me parece bastante complicado porque no se me ocurre que le puedo sumar o como puedo operar para llegar a la hipótesis de inducción.
Supongo que lo primero que tengo que hacer es separar las dos inecuaciones y hacerlas por separado no?

[pod]

Re: Principio de induccion completa

Con inecuaciones la estrategia suele ser un poco diferente para hacer la segunda parte de la demostración. Hagamos, por ejemplo, la primera desigualdad. Partimos de la ecuación para n+1,

$$\frac{2^{2n+1}}{n+1} \mathop{<}^? {2n+2 \choose n+1} = \frac{(2n+2)!}{\big( (n+1)! \big)^2}\ .$$

Aplicamos las propiedades de los factoriales,

$$\frac{2^{2n+1}}{n+1} = 4\frac{2^{2n-1}}{n+1}<br /> \mathop{<}^? <br /> \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \frac{(2n)!}{( n!)^2}\ ,$$

simplificando, y haciendo aparecer lo que sabemos de la hipótesis de inducción

$$4\frac{2^{2n-1}}{n+1} = \frac{2^{2n-1}}{n} \frac{4n}{n+1}<br /> \mathop{<}^? <br /> \frac{2(2n+1)}{(n+1)} \frac{(2n)!}{( n!)^2}\ .$$

Pensándolo un poco, y teniendo en cuenta la hipótesis de inducción, podemos asegurar que la inecuación se cumplirá si

$$\frac{4n}{n+1} \mathop{\le}^? \frac{2(2n+1)}{(n+1)} \ ,$$

lo que se reduce a

$$4n \mathop{\le}^? 2(2n+1) \ ,$$

lo cual es evidentemente cierto, completando la demostración.

[BigMess]

Re: Principio de induccion completa

Gracias, a mí no se me habría ocurrido

[gunbladecat]

Re: Principio de induccion completa

bueno volvi ahora mismo de la universidad iba a mirarmelo pero veo q ya lo resolvieron