Secundaria Distancia que recorre un péndulo hasta detenerse

[elvismujica]

Saludos, este ejercicios lo encontré en un tema de fracciones, sin emargo estoy seguro que tiene que aplicar la física, dice así:

La masa de un péndulo recorre 27 cm. en la oscilación inicial.Si en cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 2/3 de la oscilación anterior,¿cuál será la distancia que habrá recorrido dicha más hasta el momento de detenerse?.

Mi interés es observar lo siguiente, dice que fraccion que recupera es:$\frac{a}{b}$, además distancia recorrida: $27(\frac{3+2}{3-2})=135cm$, listo, ya está calculada la distancia, pero realmente ignoro de donde salen estos valores, por favor si alguien me puede conducir alguna referencia teorica de donde sale este valor.

[sater]

Re: Distancia que recorre un péndulo hasta detenerse

A ver. La serie de distancias recorridas seria $L_0, (2/3)L_0, (2/3)^2 L_0,\ldots$. En la n-ésima oscilación, recorre $(2/3)^n L_0$, luego se para tras infinitas oscilaciones ($L_n \to 0 \leftrightarrow n\to \infty$). Pero te piden la distancia que recorre, y eso se obtiene haciendo la suma:

$$D=\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n L_0=\dfrac{L_0}{1-2/3}$$

.

Si no me he equivocado, el resultado es entonces $27\times 3$, con lo que no entiendo de donde sale lo que te dicen. A ver si alguien más echa un cable.

[elvismujica]

Re: Distancia que recorre un péndulo hasta detenerse

Por eso, yo tampoco comprendo muy bien, no soy físico, pero realmente no se de donde sale el resultsado de 135 cm de recorrido, si cada vez recorre 2/3 menos, imaginé un límite... o quizas sea una sumatoria convergente, no se. por favor alguien mas.

[HiggsBoss]

Re: Distancia que recorre un péndulo hasta detenerse

Buenas;
Para empezar, el problema está mal planteado. Sin especificar el rozamiento, un péndulo nunca se va a detener. Es como si con un número lo vamos dividiendo entre dos hasta llegar a cero; nunca va a pasar.

Sin embargo, podemos establecer la aproximación de que a partir de un milímetro consideramos que ya no se mueve.
Teniendo la forma de calcular las distancias por sater: ${\text{L}}_{0},{(2/3)\text{L}}_{0},{(2/3)^2\text{L}}_{0}...$

Pequeño paréntesis para obtener esas distancias de forma más rigurosa.
Teniendo la recurrencia:
${\text{L}}_{0} = 27$
${\text{L}}_{n} = {(2/3)\text{L}}_{n-1}$ con $\text{n} \geqslant 1$

La resolvemos obteniendo:
${\text{l}}_{n} = 2/3$

Con ecuación característica:
$(\text{x} - 2/3) = 0$

Que da de resultado:
${\text{L}}_{n} = \text{c} (2/3)^n$ con ${\text{L}}_{0} = 27$, tenemos que ${\text{L}}_{n} = 27 (2/3)^n$

Obteniendo lo que dijo sater. Fin del paréntesis.

En esta última fórmula, sustituimos ${\text{L}}_{n}$ por 0.1 ( 1 milimetro ) y despejaremos la $\text{n}$.
Esta $\text{n}$ que nos saldrá será con cuál oscilación se parará (llegará a recorrer un milímetro).

Con:
$0.1 = 27 (2/3)^n$

$log_{(2/3)}(0.1/27) = log_{(2/3)}(2/3^n)$

Obtenemos:

$\text{n} = log_{(2/3)}(0.1/27) \approx 14$

Por tanto, tenemos que sumar todas las longitudes desde ${\text{L}}_{0}$ hasta ${\text{L}}_{14}$

Y a mí me da: 80.815

Muy parecido al 81 que le sale a sater.

Un saludo.

[JCB]

Re: Distancia que recorre un péndulo hasta detenerse

Buenas a todos. A mi me parece que la respuesta dada por sater es correctísima: la suma de los infinitos términos de una serie geométrica de razón 2/3 y primer término 27, es 81, según la expresión de sater.