Secundaria ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

[siempreagradezco]

. . . . .x³
∫ ---------- dx = ? , tal_que x < 1
.√ (1 – x² )

Me da

. .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .3
------- • cos [ 3 (arc sin x) ] — ----- • cos (arc sin x) + C , tal_que x < 1
. 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

¿Cómo hago para expresar este resultado con raíces cuadradas en vez de con arcos?
Lo que más me interesa es cómo aclararme con el doble signo ±, ya que, a priori, cos (arc sin x) = ±√ (1 – x²); ¿qué signo deberé elegir?

[Alriga]

Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

1) Creo que te has liado al resolver la integral, es más fácil que lo que a tí te sale:

$\displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Hacemos el cambio de variable:

$u=\sqrt{1-x^2}$

$$x^2=1-u^2$$

Derivando: $2x \ dx=-2 u \ du$

$$x \ dx=-u \ du$$

Multiplicando (1) x (2):

$x^3 dx=-u (1-u^2) du=(-u + u^3) du$

Sustituyendo

$\displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx=-\int du + \int u^2 du$

Solo queda hacer estas dos integrales inmediatas y deshacer el cambio de variable

$\displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx=-\sqrt{1-x^2}+\dfrac 1 3 (1-x^2)^{3/2}+K$

$\displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx=-\dfrac 1 3 (x^2+2) \sqrt{1-x^2}+K$

2) En cuanto a la pregunta de trigonometría. Si llamamos $y=\cos(\arcsin x)$

$y^2=\cos^2(\arcsin x)=1-\sin^2 \arcsin x=1- (\sin \arcsin x)^2=1-x^2$

$y=\boxed{\boldsymbol{\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}}}$

Una argumentación análoga permite también demostrar que $\boxed{\boldsymbol{\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}}}$

Recuerda que para facilitar la inserción de expresiones matemáticas en el Foro, hay un compilador de LaTeX. El LaTeX es muy fácil, se aprende en media hora, mira este tutorial Cómo introducir ecuaciones en los mensajes y aquí puedes practicar tus fórmulas Prueba y ejemplos de LaTeX. Recuerda también, que haciendo doble click en las fórmulas del foro puedes ver como está escritas en LaTeX

Saludos.

PD. Si para intentar resolver la integral has hecho el cambio $x=\sin u$ no se obtiene lo que tú has escrito, (te has debido equivocar en las operaciones), lo que se obtiene es:

$\displaystyle \int \sin^3 u \ du=-\cos \arcsin x+\dfrac 1 3 (\cos \arcsin x)^3$

[siempreagradezco]

Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

Si llamamos $y=\cos(\arcsin x)$

$y^2=\cos^2(\arcsin x)=1-\sin^2 \arcsin x=1- (\sin \arcsin x)^2=1-x^2$

$y=\boxed{\boldsymbol{\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}}}$

De acuerdo, pero ¿por qué no, por ejemplo $y=\boxed{\boldsymbol{\cos(\arcsin x)= -\sqrt{1-x^2}}}$ ?

- - - Actualizado - - -

PD. Si para intentar resolver la integral has hecho el cambio $x=\sin u$ no se obtiene lo que tú has escrito, (te has debido equivocar en las operaciones), lo que se obtiene es:

$\displaystyle \int \sin^3 u \ du=-\cos \arcsin x+\dfrac 1 3 (\cos \arcsin x)^3$

Para intentar resolver la integral hice el cambio $x=\sin u$, lo que se obtiene es:

$\displaystyle \int \sin^3 u \ du$
Ahora bien, existe esta identidad trigonométrica:
$sin^3 x = (3/4)sinx - (1/4)sin(3x)$
La obtuve linealizando con Euler.
Por consiguiente:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Tras deshacer se obtiene lo que dije.

[Alriga]

Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

Tienes razón, rigurosamente

$\cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1-x^2}$

... Si para intentar resolver la integral has hecho el cambio $x=\sin u$ no se obtiene lo que tú has escrito, (te has debido equivocar en las operaciones) ...

Vuelves a tener razón, la expresión

$$(1/12) \cos(3u) - (3/4) \cos u + K$$

Que conduce a

$(1/12) \cos(3\arcsin x) - (3/4) \cos \arcsin x + K$

Es correcta, solo que no es de tan fácil simplificación. Supongo que para simplificar habría que volver a aplicar la igualdad:

$\cos^3 u=\dfrac 3 4 \cos u + \dfrac 1 4 \cos 3 u$

Despejando:

$\cos 3 u = 4 ( \cos^3 u-\dfrac 3 4 \cos u)$

Y ahora sustituir en (1), deshacer el cambio, y aplicar que

$\cos (\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$

Saludos.

[Weip]

Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

Hola a los dos.

Tienes razón, rigurosamente

$\cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1-x^2}$

Si escoges los dos signos entonces tienes algo que no es una función pues hay reales con dos imagenes a la vez. Pasa lo mismo que con la raíz cuadrada normal y corriente: $\pm \sqrt{x}$ no es una función pero $+\sqrt{x}$ y $- \sqrt{x}$ sí lo son. Igual sucede con $\pm \sqrt{1-x^2}$. Además la igualdad $\cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1-x^2}$ es incorrecta no solo por esto sino también por el motivo por el cual con el signo menos también es incorrecta:

De acuerdo, pero ¿por qué no, por ejemplo $y=\boxed{\boldsymbol{\cos(\arcsin x)= -\sqrt{1-x^2}}}$ ?

Es un tema de dominios e imagenes. Primero se aplica la función arcoseno así que voy a llamar $y= \arcsin x$ para no liarnos. Queremos calcular $\cos(y)$. La clave del asunto está en que como $y \in \left[ -\pi/2, \pi/2\right]$ entonces $\cos(y)\geqslant 0$ de forma que el único signo posible es el $+$, es decir, la igualdad correcta es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La explicación es corta pero recomiendo ver estas gráficas para entenderlo mejor:

Gráfica arcoseno
Gráfica coseno
Gráfica del coseno del arcoseno
Gráfica raíz +
Gráfica raíz -

¡Saludos!

[Alriga]

Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

... Si escoges los dos signos entonces tienes algo que no es una función pues hay reales con dos imagenes a la vez ... Es un tema de dominios e imagenes ...

Gracias por el aporte Weip, de acuerdo, entiendo que en efecto es un tema de dominios, tú has elegido $y \in [ -\pi/2, \ \pi/2]$ para obligar a que el arcoseno sea función, pero si eliges $y \in [ 0, \ 2\pi ]$ entonces cualquier x excepto $\pm 1$ tiene dos arcosenos en el sentido trigonométrico, aunque no en el sentido “función”

Dicho de otro modo, si a mí me preguntan a qué ángulo físico le corresponde un seno de 0.2 responderé que puede corresponder a un ángulo de 0.201358 rad o a uno de 2.940235 rad. No responderé:

“solo corresponde a un ángulo de 0.201358 rad porque si no, el arcoseno no sería función”

Y si ahora me piden el coseno de cada uno de esos dos ángulos, para el primero obtengo 0.979796 y para el segundo -0.979796

x	0,2	0,2
$y=\arcsin x$	0,201358	2,940235
$z=\cos \arcsin x$	0,979796	-0,979796
$z=\pm\sqrt{1-x^2}$	0,979796	-0,979796

Por lo tanto, entiendo que una respuesta correcta en sentido físico a

$z=\cos \arcsin x$

Es

$z=\pm \sqrt{1-x^2}$

Sin embargo, te doy la razón en que, como en este ejercicio pide una integral, ha de ser la integral de una función y entonces la única respuesta correcta al ejercicio es:

$\displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx=-\dfrac 1 3\sqrt{1-x^2} \ (x^2+2)+K$

El doble signo +/- no es una respuesta correcta a este ejercicio:

$\displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx \neq \pm \dfrac 1 3\sqrt{1-x^2} \ (x^2+2)+K$

Como es fácil de comprobar, escogiendo el signo (+) de delante de la raiz y derivando.

Saludos.