Divulgación ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

[Alriga]

En el año 2000 el Clay Mathematics Institute anunció que premiaría con 1 millón de dólares la solución a cada uno de los 7 “problemas del milenio”:

1. P versus NP
2. La conjetura de Hodge
3. La conjetura de Poincaré
4. La hipótesis de Riemann
5. Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
6. Las ecuaciones de Navier-Stokes
7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Hasta ahora únicamente uno de ellos ha sido solucionado, La conjetura de Poincaré, demostrada por Grigori Perelman en 2003, aunque bien es sabido que Perelman rechazó cobrar el premio afirmando:

“No quiero estar expuesto como un animal en el zoológico. No soy un héroe de las matemáticas. Ni siquiera soy tan exitoso. Por eso no quiero que todo el mundo me esté mirando”

Pues bien, hace escasamente un mes, los matemáticos Svetlin Georgiev y Gal Davidi han publicado lo que ellos afirman que es la solución al problema 6, dicen en el abstract de Existence and Smoothness of Navier-Stokes Equations:

“En este trabajo proponemos un nuevo método para probar soluciones globales para ecuaciones de Navier-Stokes en 3D. Esto cumple con la solicitud del Clay Institute para el Premio del Milenio al problema de Navier Stokes. El método propuesto puede aplicarse para la investigación de soluciones globales para otras clases de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales”

El matemático Pedro Morais de Portugal es hasta ahora el único que se ha pronunciado sobre el tema, y ha afirmado que en su opinión la demostración es correcta, THE ISRAELI WHO SOLVED A 200-YEAR OLD MATH EQUATION

¿Qué opináis los matemáticos del foro?

Saludos.

[Weip]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

Gracias Alriga, no me había enterado de este nuevo intento. Ojalá sea esta la solución al problema pero tal como dicta la experiencia hasta ahora hay que ser cautos y esperar.

Yo no soy nadie para hablar de esta prueba (y de ninguna) pero me ha sorprendido que en el teorema 2.3 ¡se ha dejado nada más y nada menos que la conclusión del teorema! Leyendo la demostración uno ya llena el hueco con lo que tendría que haber escrito pero no sé siendo un artículo tan importante (no se está atacando un problema cualquiera) habría que tener más cuidado con estos despistes, y hay varios que he visto a vista de pájaro.

Mi opinión personal vale más bien nada pero solo quiero comentar que no me entusiasma demasiado este intento: parece muy hecho de repente y de golpe. Normalmente este tipo de cosas se demuestran probando resultados pequeños hasta que todo se junta y creo entender que este no es el caso. Tampoco me he leído la demostración pero viéndola por encima desanima un poco porque parece que todo sea derivar integrales. Eso, o no sé ver la idea (que al final parece lo más probable). A este respecto recuerdo unas palabras de Terence Tao de hace unos años que decía algo así como que el error más común de este tipo de demostraciones suele ser un sutil intercambio de límite e integral o cosas parecidas. Y entre esas cosas parecidas yo metería el de derivar integrales. Ya que menciono su nombre, puede resultar interesante este link donde Tao habla sobre este problema del milenio: Why global regularity for Navier-Stokes is hard.

Y hablando un poco más en general de los problemas del milenio a mí el que más ilusión me haría ver resuelto es el de la teoría de Yang-Mills y el salto de masa. Incluso me conformaría solo con ver la primer parte resuelta, la existencia de una teoría Yang-Mills cuántica no trivial en $\mathbb{R}^4$, pero por lo que parece no ha habido avance apenas. Tiene pinta de que la geometría que hay detrás es impresionante y por eso me atrae tanto. Imagino que el impacto que tendría la solución de este problema en Física sería idénticamente nulo pero quién sabe, siendo optimista (o ingenuo) quizás arroja más luz al tema de las teorías no perturbativas realistas.

[Richard R Richard]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

habría que tener más cuidado con estos despistes, y hay varios que he visto a vista de pájaro.

No quería ser el primero en contestar y ser el tiquismiquis, pero de movida se dejo un subíndice en la tercera fórmula que define el teorema, y me llamo la atención la falta de prolijidad en el desarrollo de las fórmulas, no todas las integrales tienen la misma altura, etc

[Alriga]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

Cada día se publican intentos de demostraciones famosas, todas erróneas, por lo que no suelo hacer caso. Si posteé ésta es porque leí que "...el matemático Pedro Morais de Portugal es hasta ahora el único que se ha pronunciado sobre el tema, y ha afirmado que en su opinión la demostración es correcta..." Pero después no he sido capaz de encontrar las propias palabras de Morais en ningún sitio, por lo que es posible que sea una trola que se han inventado los "demostradores", (o el periodista).

Le he preguntado su opinión a Francisco Villatoro sobre esta demostración y me ha contestado:

"...tras un vistazo rápido, el método de prueba no funciona; parece que no entienden qué problema hay que resolver, una pena. Lo dicho, falsa alarma..."

... hablando un poco más en general de los problemas del milenio a mí el que más ilusión me haría ver resuelto es el de la teoría de Yang-Mills y el salto de masa...

A mí a priori el que más me gustaría ver resuelto es precisamente el Navier-Stokes, que es el único que tiene "componente ingenieril", cada uno barre para su casa,

Saludos.

[Weip]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

No quería ser el primero en contestar y ser el tiquismiquis, pero de movida se dejo un subíndice en la tercera fórmula que define el teorema, y me llamo la atención la falta de prolijidad en el desarrollo de las fórmulas, no todas las integrales tienen la misma altura, etc

Pues sí, tienes razón, la parte de las integrales y de las fórmulas están un poco mal puestas. En latex se leería mucho mejor. Pero bueno eso ya es cuestión más de formas que de fondo y por eso tampoco lo he comentado.

Cada día se publican intentos de demostraciones famosas, todas erróneas, por lo que no suelo hacer caso. Si posteé ésta es porque leí que "...el matemático Pedro Morais de Portugal es hasta ahora el único que se ha pronunciado sobre el tema, y ha afirmado que en su opinión la demostración es correcta..." Pero después no he sido capaz de encontrar las propias palabras de Morais en ningún sitio, por lo que es posible que sea una trola que se han inventado los "demostradores", (o el periodista).

Esto me recuerda al serial de la conjetura abc que ha terminado hace poco. En ese caso había un par de matemáticos defeniendo la prueba de Mochizuki con mucha firmeza y al final se ha encontrado un error en la demostración. Entiendo que hay diferencia entre los dos casos porque los artículos de Mochizuki eran muy largos y complejos pero en el fondo pasa un poco lo mismo, es mejor esperar a la opininón de muchos expertos del área que no solo de uno o dos. Pero bueno, todo tiene parte positiva, al menos estos intentos dan pie a discusiones interesantes sobre el problema de Navier-Stokes como la que has motivado abriendo este hilo.

Le he preguntado su opinión a Francisco Villatoro sobre esta demostración y me ha contestado:

"...tras un vistazo rápido, el método de prueba no funciona; parece que no entienden qué problema hay que resolver, una pena. Lo dicho, falsa alarma..."

Me lo esperaba pero siempre es bueno que alguien como Francis se exprese. Y más en el tema de Navier-Stokes pues él lo sigue de cerca. O eso pienso viendo sus brillantes entradas sobre la demostración fallida de Otelbaev de hace pocos años.

A mí a priori el que más me gustaría ver resuelto es precisamente el Navier-Stokes, que es el único que tiene "componente ingenieril", cada uno barre para su casa,

Totalmente, al final seguimos más nuestros intereses. Es raro que un hilo sobre los problemas del milenio en las tres respuestas que hay no hayamos hablado de la hipótesis de Riemann pero en mi caso la teoría de números está lejos de mis intereses (geometría, topología y física). Y sé que el día que se publique la solución no la voy a entender, así que... Volviendo a Navier-Stokes, lo que me pasa es que tengo una relación complicada con los teoremas de existencia, unicidad, diferenciabilidad, etc de ecuaciones diferenciales. Voy cambiando de opinión con el tiempo pero actualmente me cansan un poco este tipo de teoremas. Es cierto que algunas demostraciones son chulas, pero luego uno se encuentra con otras muy pesadas... Hay de todo pero al final se prueban cosas que "deberían ser así" y eso le resta emoción. Pero lo dicho, voy fluctuando, quizás dentro de unos meses me gustan o algo.

Sobre la componente ingenieril de este problema del milenio no sé nada, siempre me dió la sensación de que no tendrá consecuencias prácticas en ingeniería, así que como tú estarás más puesto te pregunto ¿esto es así?

[Richard R Richard]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada.

Fuente :https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci..._Navier-Stokes

Otro gazapo, o no saben, que aunque no tenga solución sencilla, no implica que sea imposible.... y de lo que hablamos aqui es de hallar una solución no particular sino una solución general ....

Pero bueno eso ya es cuestión más de formas que de fondo y por eso tampoco lo he comentado.

Sobre la cuestión de fondo , no me atrevo, pero un paper merecedor de 1000000 u$d no debería tener un solo error, al menos ninguno que uno de a pie como yo, se lo pueda encontrar.

Este es el enunciado del problema que puede ser premiado, con tamaña cifra http://www.claymath.org/sites/defaul...vierstokes.pdf

[gddwms]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

Hi,

We posted our solution (I am Gal Davidi together with my colleague Svetlin Georgiev) in the aim of getting criticism and feedback. Thank you very much for your posts.

Having said that I do not find any crucial mistakes in our proof following your comments other than typos in the integrals for example. I would like to hear from you guys criticism about our method of solution. Please refer to a specific point and not just "feeling" like comments:

"after a quick glance, the test method does not work, it seems that they do not understand what problem has to be solved, a pity."

Thanks keep it coming

Gal Davidi and Svetlin Georgiev

[Alriga]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

Hello, Gal and Svetlin. Thank you for commenting here
I'm Alriga, the person who created this thread. While we wait to see if any of the mathematicians in the forum make new contributions, I'd like to ask you a couple of questions:

• Can you give us the link to the analysis of the mathematician Pedro Morais mentioned in "The Jerusalem Post"?
• Another question, will your demonstration appear shortly in a peer-reviewed magazine?

Thank you and best regards

¡Hola! Gal y Svetlin, gracias por comentar aquí
Yo soy Alriga, la persona que creó este hilo. Mientras esperamos a ver si alguno de los compañeros matemáticos del foro hace nuevas aportaciones, me gustaría preguntaros un par de cuestiones:

• ¿Podéis darnos el enlace al análisis del matemático Pedro Morais del que se habla en “The Jerusalem Post”?
• Otra pregunta, ¿va a aparecer vuestra demostración publicada pronto en alguna revista con revisión por pares?

Gracias y saludos.

[gddwms]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

Thanks,

Jerusalem Post article:
https://www.jpost.com/HEALTH-SCIENCE...quation-568729

W e in the midst of submitting to peer-reviewed journals (open access if possible).

[Alriga]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

... Jerusalem Post article:
https://www.jpost.com/HEALTH-SCIENCE...quation-568729 ...

I already knew this article from "The Jerusalem Post" note that I already put the same link in post #1

My question was, where can we consult Pedro Morais' analysis?

Thank you and best regards.

Yo ya conocía este artículo de "The Jerusalem Post" observa que ya puse ese mismo link en el post #1
Mi pregunta era ¿donde podemos consultar el análisis de Pedro Morais?
Gracias y saludos.

[Richard R Richard]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

Hi,

We posted our solution (I am Gal Davidi together with my colleague Svetlin Georgiev) in the aim of getting criticism and feedback. Thank you very much for your posts.

Having said that I do not find any crucial mistakes in our proof following your comments other than typos in the integrals for example. I would like to hear from you guys criticism about our method of solution. Please refer to a specific point and not just "feeling" like comments:

"after a quick glance, the test method does not work, it seems that they do not understand what problem has to be solved, a pity."

Thanks keep it coming

Gal Davidi and Svetlin Georgiev

Que traducido por google es

Hola,


Publicamos nuestra solución (soy Gal Davidi junto con mi colega Svetlin Georgiev) con el objetivo de obtener críticas y comentarios. Muchas gracias por tus posts.


Habiendo dicho eso, no encuentro errores cruciales en nuestra prueba después de sus comentarios que no sean errores tipográficos en las integrales, por ejemplo. Me gustaría escuchar las críticas de ustedes sobre nuestro método de solución. Por favor, refiérase a un punto específico y no solo a los "sentimientos" como comentarios:


"Después de una mirada rápida, el método de prueba no funciona, parece que no entienden qué problema hay que resolver, por lástima".


Gracias sigan viniendo


Gal Davidi y Svetlin Georgiev

Hola, nosotros celebramos sus intenciones de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, y deseamos que tengan éxito en tan difícil tarea.


Mi humilde critica al trabajo publicado en Arvix, no apunta al desarrollo, sino a la presentación matemática, me llamo la atención en particular encontré un error tipográfico, la falta de un subíndice en la tercera fórmula del punto 1.1 en la introducción al problema, también observe que no todas las integrales tienen la misma altura en todo el documento, ni en la misma sumatoria de términos..

Como el siguiente

$$\left \{<br /> \begin{aligned}<br /> u_t+uu_x+vu_y+wu_z+\dfrac 1{\rho}p_x-\boldsymbol{v}u_{xx}-\boldsymbol{v}u_{yy}-\boldsymbol{v}u_{zz}& = 0 \\<br /> v_t+uv_x+vv_y+wv_z+\dfrac 1{\rho}p_y-\boldsymbol{v}v_{xx}-\boldsymbol{v}v_{yy}-\boldsymbol{v}v_{zz}& = 0 \\<br /> w_t+uw+vw_y+ww_z+\dfrac 1{\rho}p_z-\boldsymbol{v}w_{xx}-\boldsymbol{v}w_{yy}-\boldsymbol{v}w_{zz}& = 0 \\<br /> u_x+v_y+w_z=0 \, in(0,\infty)\,\times\,\mathbb {R}^3\\<br /> u(0,x,y,z)=u_0(x,y,z), \,v(0,x,y,z)=v_0(x,y,z),\\<br /> \,w(0,x,y,z)=w_0(x,y,z) \,in\,\mathbb {R}^3,<br /> \end{aligned}<br /> \right .$$

donde podría haber escrito

$$\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> u_t+uu_x+vu_y+wu_z+\dfrac 1{\rho}p_x-\boldsymbol{v}u_{xx}-\boldsymbol{v}u_{yy}-\boldsymbol{v}u_{zz}& = 0 \\<br /> v_t+uv_x+vv_y+wv_z+\dfrac 1{\rho}p_y-\boldsymbol{v}v_{xx}-\boldsymbol{v}v_{yy}-\boldsymbol{v}v_{zz}& = 0 \\<br /> w_t+uw_x+vw_y+ww_z+\dfrac 1{\rho}p_z-\boldsymbol{v}w_{xx}-\boldsymbol{v}w_{yy}-\boldsymbol{v}w_{zz}& = 0 \\<br /> u_x+v_y+w_z=0 \, \in(0,\infty)\,\times\,\mathbb {R}^3\\<br /> u(0,x,y,z)=u_0(x,y,z), \,v(0,x,y,z)=v_0(x,y,z), \,\\<br /> w(0,x,y,z)=w_0(x,y,z) \, \in\,\mathbb {R}^3,<br /> \end{aligned}<br /> \right.$$

Sería una pena que no se le reconozca el logro ni el premio, por errores insignificantes que no se corrigen a tiempo, habiendo gente común que se los ha marcado. Espero que todas las criticas que le lleguen sean de forma y no de contenido.


Ustedes pueden tener las ideas muy claras, correctas y para haber llegado a resolver el problema del milenio, pero si se equivocan al divulgar la solución, quizá se pierda la esencia de lo importante...

Confío en que le serán útiles mis consejos, espero con ansias y excitación , los comentarios de la comunidad científica al respecto del contenido de su trabajo.


Y esperamos sus comentarios, cuando tengan buenas noticias, un saludos cordial desde el otro lado del mundo.



Hello, we celebrate your intentions to solve the Navier-Stokes equations, and we wish you to succeed in such a difficult task.


My humble criticism of the work published in Arvix, not aimed at development, but to the mathematical presentation, I called my attention in particular I found a typographical error, the lack of a subscript in the third formula of point 1.1 in the introduction to the problem, also Note that not all integrals have the same height in the entire document, nor in the same sum of terms.

like you Posted in 1.1

$$\left \{<br /> \begin{aligned}<br /> u_t+uu_x+vu_y+wu_z+\dfrac 1{\rho}p_x-\boldsymbol{v}u_{xx}-\boldsymbol{v}u_{yy}-\boldsymbol{v}u_{zz}& = 0 \\<br /> v_t+uv_x+vv_y+wv_z+\dfrac 1{\rho}p_y-\boldsymbol{v}v_{xx}-\boldsymbol{v}v_{yy}-\boldsymbol{v}v_{zz}& = 0 \\<br /> w_t+uw+vw_y+ww_z+\dfrac 1{\rho}p_z-\boldsymbol{v}w_{xx}-\boldsymbol{v}w_{yy}-\boldsymbol{v}w_{zz}& = 0 \\<br /> u_x+v_y+w_z=0 \, in(0,\infty)\,\times\,\mathbb {R}^3\\<br /> u(0,x,y,z)=u_0(x,y,z), \,v(0,x,y,z)=v_0(x,y,z),\\<br /> \,w(0,x,y,z)=w_0(x,y,z) \,in\,\mathbb {R}^3,<br /> \end{aligned}<br /> \right .$$

may be you should be posted

$$\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> u_t+uu_x+vu_y+wu_z+\dfrac 1{\rho}p_x-\boldsymbol{v}u_{xx}-\boldsymbol{v}u_{yy}-\boldsymbol{v}u_{zz}& = 0 \\<br /> v_t+uv_x+vv_y+wv_z+\dfrac 1{\rho}p_y-\boldsymbol{v}v_{xx}-\boldsymbol{v}v_{yy}-\boldsymbol{v}v_{zz}& = 0 \\<br /> w_t+uw_x+vw_y+ww_z+\dfrac 1{\rho}p_z-\boldsymbol{v}w_{xx}-\boldsymbol{v}w_{yy}-\boldsymbol{v}w_{zz}& = 0 \\<br /> u_x+v_y+w_z=0 \, \in(0,\infty)\,\times\,\mathbb {R}^3\\<br /> u(0,x,x,z)=u_0(x,y,z), \,v(0,x,y,z)=v_0(x,y,z), \,\\<br /> w(0,x,y,z)=w_0(x,y,z) \, \in\,\mathbb {R}^3,<br /> \end{aligned}<br /> \right.$$

It would be a pity if you do not recognize the achievement or the award, for insignificant errors that are not corrected in time, having common people who have marked them. I hope that all the criticisms that come to you are of form and not of content.


You can have the ideas very clear, correct and to have come to solve the problem of the millennium, but if you are wrong to disclose the solution, we may miss the essence of what is important ...


I trust that my advice will be useful, I look forward to the comments of the scientific community about the content of their work.


And we wait for your comments, when you have good news, kind regards from the other side of the world.

- - - Actualizado - - -


Leyendo mas profundamente

La verdad que tenemos una suerte que contactaran con LWDF, no han vuelto a entrar desde ayer ....siempre tus hilos Alriga traen buena miga....Has podido observar que esta es la 3ra revisión de su trabajo y que las versiones anteriores de junio y julio no tenían los errores de tipeo que le he marcado?, les encontré algunos pequeños errores mas , y poniéndome pesado indicandoselos, no creo se molesten en comentarpues así parecen indicarlo.Pero quiza le sirva a quien lea el paper de arxiv


El planteo lo he seguido y proponen un campo vectorial de funciones, que creo aplican con la definición del premio, pero serviran ingenierilmente?

En la sección 3 también tienes un problema con los subíndices de la presión con los subíndices de la presión en la primer y segunda ecuación ,que junto con los ya mencionados no aparecen en la versión 1 de publicada en junio 2018......

Además será bueno que indicaran que asumes que la densidad es $\rho=1$ y así como también la viscosidad cinemática $\nu=1=\dfrac{\boldsymbol v}g$ para convertir (3.1) en (1.1) exactamente...


luego es más fácil de seguir tu razonamiento con las integrales, si explicas que aplicas el teorema fundamental del cálculo , TFC

$\dst\frac{\partial \left( \dst \int_{g(x)}^{h(x)} f(t)\dd t\right )}{\partial t}=f(h(x))\cdot h'(x)-f(g(x))\cdot g'(x)$


allí haces uso de varias variables y no explicas cual es uso que haras de ellas y su equivalencia

$\alpha,x_1\to x$

$\beta,y_1\to y$

$\gamma,z_1\to z$

$s\to t$


Luego las fórmulas

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


son difíciles de interpretar rápidamente, seguro los matemáticos mas avezados lo hacen mas fácilmente,pero a mí me ha costado interpretarlo mas que otras cosas


Hubiese preferido que lo hicieras de este modo

$\begin{aligned}<br /> I^{1j}_1(u,v,w,p)=\\<br /> \dst\int_{x_o}^{x}\int_{x_1}^{x}\int_{y_o}^{y}\int_{y_o}^{y_1}\int_{z_o}^{z}\int_{z_o}^{z_1}\left (u(t,\alpha,\beta,\gamma)-u_0(\alpha,\beta,\gamma)\right)\dd \gamma \dd z_1 \dd \beta\dd y_1 \dd \alpha\dd x_1...<br /> \end{aligned}<br />$



Entonces entiendo que ustedes proponen un campo vectorial como solución $\mathbb R^4 \to \mathbb R^4$ ? han probado si es un campo vectorial o es solo un simple sistema de ecuaciones no lineales ?como aparenta ser un gradiente nulo, este provendra de un potencial rotacional?



I forgot give you Wellcome!!!! to LWDF "La web de fisica" and thanks for visit us


Reading more deeply

The truth is that we are lucky that they contacted LWDF, they have not returned since yesterday ... always your threads bring good crumb Alriga.... You have been able to observe that this is the 3rd revision of your work and that the previous versions of June and July did not have the typing errors that I marked, I found some small mistakes, and putting heavy indicating them, I do not think they bother to comment so they seem to indicate it. But maybe it will help whoever reads the arxiv paper


I have followed it and propose a vector field of functions, which I believe apply with the definition of the award, but will they serve engineering?

In section 3 you also have a problem with the pressure subscripts in the first and second equations that along with those already mentioned do not appear in version 1 of published in June 2018 ...

It will also be good to indicate that you assume that the density is $\rho = 1$ and also the kinematic viscosity $\nu = 1 = \dfrac {\boldsymbol v} g$ to convert (3.1) in (1.1) exactly...


then it is easier to follow your reasoning with the integrals, if you explain that you apply the fundamental calculation theorem, TFC

$\dst\frac{\partial \left( \dst \int_{g(x)}^{h(x)} f(t)\dd t\right )}{\partial t}=f(h(x))\cdot h'(x)-f(g(x))\cdot g'(x)$


there you make use of several variables and do not explain what is your use of them and their equivalence


$\alpha,x_1\to x$

$\beta,y_1\to y$

$\gamma,z_1\to z$

$s\to t$

Then the formulas

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


It are difficult to interpret quickly, surely the most experienced mathematicians do it more easily, but it has cost me to interpret it more than other things

I would have preferred you to do it this way

$\begin{aligned}<br /> I^{1j}_1(u,v,w,p)=\\<br /> \dst\int_{x_o}^{x}\int_{x_1}^{x}\int_{y_o}^{y}\int_{y_o}^{y_1}\int_{z_o}^{z}\int_{z_o}^{z_1}\left (u(t,\alpha,\beta,\gamma)-u_0(\alpha,\beta,\gamma)\right)\dd \gamma \dd z_1 \dd \beta\dd y_1 \dd \alpha\dd x_1...<br /> \end{aligned}<br />$


So i understood you propose a vector field as a solution $\mathbb R^4 \to \mathbb R^4$? have you tested whether it is a vector field or is it just a simple system of nonlinear equations, As it appears to be a zero gradient, will it come from a rotational potential?

[gddwms]

Re: ¿Solución al problema de las ecuaciones de Navier-Stokes?

Hi,

With regards to Morais's analysis of validation, he is working on a paper that validates the proof. when he'll finish it I'll post it here.