1r ciclo Operador nabla

[Visitante]

En mi asignatura de Cálculo no creo que se llegue a explicar la divergencia y el rotacional, así que para no esperar más ¿Cómo se opera $(\vec{B}\cdot \nabla)\vec{r}$?

[Weip]

Re: Operador nabla

Hola Malevolex.

En mi asignatura de Cálculo no creo que se llegue a explicar la divergencia y el rotacional, así que para no esperar más ¿Cómo se opera $(\vec{B}\cdot \nabla)\vec{r}$?

La verdad es que iría bien que dieses contexto a tu pregunta porque la expresión $(\vec{B}\cdot \nabla)\vec{r}$ no está bien escrita a priori. Al menos yo diría que nunca la he visto así tal cual por lo que es conveniente que expliques donde la has visto. En todo caso se escribiría $\left( \vec{\nabla} \cdot \vec{B} \right)\vec{r}$ o $\left( \nabla \cdot {B} \right)r$.

Más allá de la escritura, $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}$ es la divergencia del campo $\vec{B}=\vec{B}(x, y, z)=(B_x, B_y, B_z)$ y en coordenadas cartesianas se calcula de la siguiente manera:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=\dst\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}$

Fíjate que la notación es sugerente: $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}$ parece el producto escalar entre el vector de derivadas parciales $\vec{\nabla}=\left( \dst\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z} \right)$ y el vector $\vec{B}$. Aún así hay que hacer énfasis en el "parece" puesto que la notación es pura mnemotécnia que encontrarás también cuando veas el rotacional $\vec{\nabla} \times \vec{B}$ cuya notación y cálculo recuerda al producto vectorial aunque no lo sea. Con esta notación podrías pensar que $(\vec{B}\cdot \nabla)\vec{r}$ está bien escrito pero lo cierto es que es inusual cambiar el orden del campo y de la nabla. Para acabar de interpretar tu expresión observa que la divergencia $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}$ es un escalar con lo que $\left( \vec{\nabla} \cdot \vec{B} \right)\vec{r}$ (o $(\vec{B}\cdot \nabla)\vec{r}$) viene a ser un producto de un escalar por un vector.

Tu pregunta se refiere solo al cálculo así que está respondida pero mi consejo es que intentes darle interpretación a la divergencia a través de las fuentes y los sumideros del campo. Si quieres leer sobre esto recomiendo este artículo de Khan Academy, es muy claro y visual.

[Visitante]

Re: Operador nabla

Hola Malevolex.


La verdad es que iría bien que dieses contexto a tu pregunta porque la expresión $(\vec{B}\cdot \nabla)\vec{r}$ no está bien escrita a priori. Al menos yo diría que nunca la he visto así tal cual por lo que es conveniente que expliques donde la has visto. En todo caso se escribiría $\left( \vec{\nabla} \cdot \vec{B} \right)\vec{r}$ o $\left( \nabla \cdot {B} \right)r$.

Más allá de la escritura, $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}$ es la divergencia del campo $\vec{B}=\vec{B}(x, y, z)=(B_x, B_y, B_z)$ y en coordenadas cartesianas se calcula de la siguiente manera:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=\dst\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}$

Fíjate que la notación es sugerente: $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}$ parece el producto escalar entre el vector de derivadas parciales $\vec{\nabla}=\left( \dst\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z} \right)$ y el vector $\vec{B}$. Aún así hay que hacer énfasis en el "parece" puesto que la notación es pura mnemotécnia que encontrarás también cuando veas el rotacional $\vec{\nabla} \times \vec{B}$ cuya notación y cálculo recuerda al producto vectorial aunque no lo sea. Con esta notación podrías pensar que $(\vec{B}\cdot \nabla)\vec{r}$ está bien escrito pero lo cierto es que es inusual cambiar el orden del campo y de la nabla. Para acabar de interpretar tu expresión observa que la divergencia $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}$ es un escalar con lo que $\left( \vec{\nabla} \cdot \vec{B} \right)\vec{r}$ (o $(\vec{B}\cdot \nabla)\vec{r}$) viene a ser un producto de un escalar por un vector.

Tu pregunta se refiere solo al cálculo así que está respondida pero mi consejo es que intentes darle interpretación a la divergencia a través de las fuentes y los sumideros del campo. Si quieres leer sobre esto recomiendo este artículo de Khan Academy, es muy claro y visual.

En mates dudo que se vea esa expresión, pero en mecánica la usan mucho, yo la he visto de la identidad de $\nabla \times (\vec{r}\times \vec{B})$, en este caso $\vec{r}$ es el vector de posición y $\vec{B}$ el campo magnético, lo hace para ver cuál es el "candidato ideal" para potencial vector.

[Weip]

Re: Operador nabla

En mates dudo que se vea esa expresión, pero en mecánica la usan mucho, yo la he visto de la identidad de $\vec{\nabla} \times (\vec{r}\times \vec{B})$, en este caso $\vec{r}$ es el vector de posición y $\vec{B}$ el campo magnético, lo hace para ver cuál es el "candidato ideal" para potencial vector.

Entonces lo que tu has visto en mecánica es la identidad:

$\vec{\nabla} \times \left( \vec{r} \times \vec{B} \right)=\vec{r} \left( \vec{\nabla}\cdot\vec{B} \right)-\vec{B}\left( \vec{\nabla}\cdot \vec{r}\right)+\left( \vec{B} \cdot \vec{\nabla}\right)\vec{r}-\left( \vec{r} \cdot \vec{\nabla}\right)\vec{B}$

(O algo parecido, se puede formular usando distintas notaciones para que quede más corto). En la fórmula que he puesto arriba $\vec{B} \cdot \vec{\nabla}$ es la derivada direccional. A efectos calculísticos:

$\vec{B} \cdot \vec{\nabla}=B_x\dst\frac{\partial }{\partial x}+B_y\dst\frac{\partial }{\partial y}+B_z\dst\frac{\partial }{\partial z}$

Por tanto $\left( \vec{B} \cdot \vec{\nabla} \right)\vec{r}$ es hacer la derivada direccional de $\vec{r}$. Como ves el contexto ha sido determinante para poder responderte así que cuantos más detalles des más gente podrá responder y mejor para ti.

Que por cierto, ¿como es que en mecánica no os explican como hacer estos cálculos? ¿Lo dan por sabido entonces?

[Schwarze97]

Re: Operador nabla

Esa expresión es muy común en ramas de la física como la mecánica de fluidos. El operador $(\vec{v}\cdot\nabla)(\cdot)$ se conoce como el operador de derivada convectiva. Este operador puede aplicarse tanto a campos escalares como a vectoriales. En un espacio euclídeo de 3 dimensiones y aplicándole un campo vectorial A, el operador de desarrolla tal que así:

$\vec{v}\cdot\nabla\vec{A} = v_x \frac{\partial \vec{A}}{\partial x} + v_y \frac{\partial \vec{A}}{\partial y} + v_z \frac{\partial \vec{A}}{\partial z}$

El operador también puede aplicarse sobre el mismo vector v. Es muy común en mecánica de fluidos ver escrito $\vec{v}\cdot\nabla\vec{v}$.

En física, esta v que hay en el operador es la velocidad, o mejor dicho, el campo de velocidades de un fluido. La derivada convectiva te está diciendo cómo varía la magnitud que le introduzcas, pero esta variación que describe es la que se debe al propio movimiento del fluido y no a un cambio global en el medio con un origen externo a éste.

La derivada convectiva sumada a $\frac{\partial}{\partial t}$ forman el operador de derivada material (también llamada derivada total o derivada de Stokes). Esta derivada respecto al tiempo se llama derivada local y corresponde, esta vez sí, a un cambio global en todo el volumen de control del fluido. Finalmente el operador de derivada material se definiría así:

$\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v}\cdot\nabla$

Todo esto puede deducirse con series de Taylor partiendo de la definición de diferencial y de derivada.

Pongamos un ejemplo. Imagina que tienes un fluido moviéndose por un volumen de control y que este volumen de control está en un laboratorio donde hace mucho frío y de pronto encendemos la calefacción. La variación de temperatura del fluido se describe como $\frac{DT}{Dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + \vec{v}\cdot\nabla T$.

El primer término (derivada local), corresponde al cambio global en la temperatura del fluido debido a que hemos encendido la calefacción y todo el laboratorio (incluyendo el volumen de control de nuestro fluido) se ha calentado. Si no hubiera encendido la calefacción ni hubiese variado la temperatura globalmente, este término sería 0. El segundo término (derivada convectiva) nos muestra como cambia la temperatura del fluido a causa de que éste se mueve. Por ejemplo, Una parte de nuestro volumen de control está caliente y la otra fría y una parte del fluido que está caliente se mueve a la zona fría y al pasar por allí se enfría. El cambio de temperatura se debe a que el fluido se ha movido.

[Visitante]

Re: Operador nabla

Entonces lo que tu has visto en mecánica es la identidad:

$\vec{\nabla} \times \left( \vec{r} \times \vec{B} \right)=\vec{r} \left( \vec{\nabla}\cdot\vec{B} \right)-\vec{B}\left( \vec{\nabla}\cdot \vec{r}\right)+\left( \vec{B} \cdot \vec{\nabla}\right)\vec{r}-\left( \vec{r} \cdot \vec{\nabla}\right)\vec{B}$

(O algo parecido, se puede formular usando distintas notaciones para que quede más corto). En la fórmula que he puesto arriba $\vec{B} \cdot \vec{\nabla}$ es la derivada direccional. A efectos calculísticos:

$\vec{B} \cdot \vec{\nabla}=B_x\dst\frac{\partial }{\partial x}+B_y\dst\frac{\partial }{\partial y}+B_z\dst\frac{\partial }{\partial z}$

Por tanto $\left( \vec{B} \cdot \vec{\nabla} \right)\vec{r}$ es hacer la derivada direccional de $\vec{r}$. Como ves el contexto ha sido determinante para poder responderte así que cuantos más detalles des más gente podrá responder y mejor para ti.

Que por cierto, ¿como es que en mecánica no os explican como hacer estos cálculos? ¿Lo dan por sabido entonces?

La duda que me queda es que según lo que dices el resultado me debería de dar un escalar, pero al profesor le da que es un vector.

En mecánica no se explica, se da por supuesto que sabes cálculo diferencial, lo que es el rotacional y la divergencia y que tienes soltura con ello. Lo dan por sabido porque esto se ve en física el 1º año en cálculo diferencial, el problema del doble grado es ese, nosotros hemos tenido cálculo diferencial este cuatrimestre, y lo de divergencia y rotacional supongo que nos lo explicarán con rigor en cálculo integral. Gracias a que me pasaste en verano lo de Khan Academy he podido ir bien con mecánica.

[Weip]

Re: Operador nabla

La duda que me queda es que según lo que dices el resultado me debería de dar un escalar, pero al profesor le da que es un vector.

No, el resultado da un vector. Cuando lo aplicas a $\vec{r}$ queda:

$\left( \vec{B}\cdot \vec{\nabla} \right)\vec{r}=B_x\dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial x}+B_y\dst\frac{\partial\vec{r}}{\partial y}+B_z\dst\frac{\partial \vec{r}}{\partial z}$

Y como $\vec{r}=(x, y, z)$ entonces:

$\left( \vec{B}\cdot \vec{\nabla} \right)\vec{r}=B_x(1, 0, 0)+B_y(0, 1, 0)+B_z(0, 0, 1)=(B_x, B_y, B_z)$

Por tanto da un vector. Aún así decir que $\vec{B}\cdot \vec{\nabla}$ es posible aplicarlo a un campo escalar y entonces sí el resultado es un escalar. De hecho esto ya lo ha comentado Schwarze97 así que no doy detalles pero si quieres que lo escriba dilo.

En mecánica no se explica, se da por supuesto que sabes cálculo diferencial, lo que es el rotacional y la divergencia y que tienes soltura con ello. Lo dan por sabido porque esto se ve en física el 1º año en cálculo diferencial, el problema del doble grado es ese, nosotros hemos tenido cálculo diferencial este cuatrimestre, y lo de divergencia y rotacional supongo que nos lo explicarán con rigor en cálculo integral. Gracias a que me pasaste en verano lo de Khan Academy he podido ir bien con mecánica.

Entiendo. Supongo que cada programa de doble grado tiene sus cosas. Me alegro que los links que te pasé te sirvieran, realmente me había olvidado de ése hilo así que disculpa que en mi primer mensaje te hablara de la divergencia cuando ya sabías lo que era... Mala memoria.