1r ciclo Recta normal a una parábola

[Albert_86]

¿Cual es la manera correcta de proceder para la solución de este problema? La verdad que no se como abordarlo.

" ¿Para que valor de la constante K es la recta x+y=K normal a la curva y={x}^{2}? "

El problema no tiene más datos, no hay puntos dados.

La solución es K=\frac{3}{4}

[pod]

Re: Problema con constante

No te dan ningún punto porque te pregunta que sea normal en algun punto. De hecho, sólo puede ser normal en un punto.

La recta dada será normal a la curva (parábola) si para un $x = x_0$ dado se cumplen dos condiciones:

1. La recta y la curva tienen el mismo valor en dicho punto.

2. La curva en ese punto tiene una pendiente igual a una segunda recta que sea normal a la primera y se cruce en ese punto.

El único ingrediente no trivial es conocer la pendiente de la recta normal a la recta dada. Si la pendiente de una recta es p, la pendiente de la recta normal será -1/p. Por lo tanto, si la recta que te dan tiene pendiente -1, la recta normal tendrá pendiente +1.

Así, pues, tienes que buscar en qué punto la curva tiene pendiente = 1. Y, a partir de ahí, calcular el valor de K para que las dos funciones se crucen en ese punto.

[Alriga]

Recta normal a una parábola

Como bien te explica pod es cuestión de plantear un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

Incógnitas:

• La abcisa del punto de intersección entre la recta buscada y la parábola $x_0$
• La ordenada del punto de intersección entre la recta buscada y la parábola $y_0$
• El valor de $K$

Ecuaciones:

• La ecuación de la recta particularizada para el punto $(x_0, \ y_0)$
• La ecuación de la parábola particularizada para el punto $(x_0, \ y_0)$
• Plantear que en el punto de intersección $(x_0, \ y_0)$ la recta tangente a la parábola y la recta buscada son perpendiculares. Para ello recordar 1º que la pendiente de la tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en ese punto, y 2º que dos rectas perpendiculares tienen pendientes opuestas e inversas.

Si nos dices qué valores obtienes para $x_0, \ y_0, \ K$ podremos comprobar si lo has hecho bien. Si te lías y no te sale, vuelve a preguntar.

Saludos.

[Albert_86]

Re: Recta normal a una parábola

Muchas gracias por vuestra ayuda, creo que gracias a ella le he visto claro.

1. Convierto la ecuación x+y=k -> Y=-x+k
2. Derivo la ecuación para encontrar su pendiente F'=-1. Por tanto m=-1, al ser una recta su pendiente no varia.
3. Derivo la ecuación de la parábola y la igualo a 1 para obtener m=1 para que sean perpendiculares. Me da que x=1/2 por tanto y=1/4.
4. Hallo el valor de K sustituyendo los valores en la primera ecuación dada. x+y=k -> 1/2+1/4=3/4 K=3/4

¿Es correcto el desarrollo?

[pod]

Re: Recta normal a una parábola

¿Es correcto el desarrollo?

A mi me lo parece.

[Alriga]

Re: Recta normal a una parábola

... Me da que x=1/2 por tanto y=1/4.
Hallo el valor de K sustituyendo los valores en la primera ecuación dada. x+y=k -> 1/2+1/4=3/4 K=3/4
¿Es correcto el desarrollo?

Parábola: $y=x^2$

Recta: $y=-x+\dfrac 3 4$




Saludos