Otras carreras Propiedad de convolución

[danielandresbru]

Hola quería saber si sabéis dónde puedo conseguir la demostración de que
$\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \frac {e^{-\pi (x/ \epsilon)^2}}{\epsilon} *f(x) = f(y)$
Donde * es la convulsión.
Quisiera saber si sabéis cómo se llama está propiedad o si sabéis en que se basa está demostración.
Muchas gracias de antemano

[Alriga]

Re: Propiedad de convolución

Hola quería saber si sabéis dónde puedo conseguir la demostración de que

$\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \frac {e^{-\pi (x/ \epsilon)^2}}{\epsilon} *f(x) = f(y)$

Donde * es la convulsión convolución
Quisiera saber si sabéis cómo se llama está propiedad o si sabéis en que se basa está demostración.
Muchas gracias de antemano

Para aclaración de quien pueda ayudarle, supongo que por lo que quiere preguntar realmente Daniel es por convolución, no por "convulsión" que ha debido escribir sin querer

Saludos.

[pod]

Re: Propiedad de convolución

Quizá hay otra demostración que no requiera de la teoría de distribuciones, pero en ella una propiedad conocida es que

$$\lim_{\varepsilon\to0} \frac1\varepsilon \mathrm{e}^{-\pi (x/\varepsilon)^2} = \delta(x) ,$$

una de las numerosas representaciones de la Delta de Dirac. Una vez te crees esto, la "convulsión" que necesitas sale de forma bastante immediata.

[carroza]

Re: Propiedad de convolución

Hola.

Una manera de ver estas propiedades es recurrir a la transformada de Fourier, que hace que el producto de convolución se comvierta en el producto normal. https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_theorem

Como la transformada de Fourier de ${ 1 \over \epsilon} e^{- \pi (x/\epsilon)^2}$ , que es $e^{- (4 /\pi) ( q \epsilon)^2}$, tiene a 1 cuando $\epsilon$ tiende a cero, las transformadas de Fourier de $f(x)$ y de su producto de convolución tienden a ser iguales, con lo que las propias funciones también lo son.

Saludos

[danielandresbru]

Re: Propiedad de convolución

Hola pod, sabes dónde puedo ver qué la delta de duración también puede tener esa representación?

- - - Actualizado - - -


Hola carroza.

Es que mi objetivo de saber está igualdad es ver la demostración de la inversion de la transformada de fouirer (que encontré aqui: https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor...ón_de_Fourier )

[pod]

Re: Propiedad de convolución

Hola pod, sabes dónde puedo ver qué la delta de duración también puede tener esa representación?

Suponiendo que "duración" es la auto-corrección de Dirac, en la propia wikipedia lo tienes:

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

Es el mismo ejemplo, con un cambio de variables, que ves en la segunda imagen (el gif animado). Además, en el apartado "Representations of the delta function" tienes toda una miríada de representaciones. Fíjate que la gaussiana de este ejemplo cae dentro de la categoria que ahí llama "approximation to the identity"; que permite básicamente obtener una representación de la delta a partir de cualquier función que sea integrable en todos los reales. Supongo que la demostración estará en las referencias citadas por la Wikipedia. Yo la vi, en su día, en la optativa de la carrera de Física donde se daban temas "avanzados" de mates (como la teoría de distribuciones).