Avanzado Centro geográfico

[sater]

Buenas, recientemente nos ha surgido entre amigos la pregunta de cual es el centro geográfico de la península ibérica. Pregunta que no es baladí, pues se cuenta que uno de los motivos por los Felipe II eligió a Madrid como capital de España fue en parte por ser el centro de la península.

Pronto surgió el problema de cómo se define el centro. A nuestro parecer, la manera más adecuada era como el punto que minimiza la distancia a todos los puntos del contorno (aunque se tienen problemas con esta definición, ver más adelante). Procedimiento parecido en parte al método de mínimos cuadrados.

Por otro lado, surge de manera natural pensar que el centro coincide con el centro de masas de la figura bidimensional que es la península, supuesta su densidad constante. Por tanto, nos propusimos ver si podíamos demostrar que ambos coincidían para un contorno arbitrario (aunque con ciertas restricciones, por ejemplo que el contorno sea una función inyectiva angularmente, y cualquier cosa que haga falta para que la discusión no se complique innecesariamente). La igualdad de ambas definiciones sería interesante, pues convertiría un problema de minimizar en uno de integrar, lo cual (creo) que es más sencillo. Pero pronto nos dimos cuenta de que no era tan fácil como esperábamos.

Al intentar escribirlo vimos que la definición distancia a todos los puntos de la frontera desde uno dado es patológica, pues la suma de infinitas distancias finitas no converge (renormalizar?). Por tanto pensamos en discretizar el contorno. Pasando al problema de encontrar el punto que minimiza la distancia al cuadrado (hago notar esto, pues con distancia a secas no lo vemos claro) a N puntos dados se puede demostrar fácilmente que coincide con el centro de masas supuestas masas iguales. Dado que podríamos pensar en organizar los N puntos formando el contorno de cualquier figura con arbitraria precisión, diríamos que al menos por esta parte (con la salvedad de que minimizamos distancias al cuadrado) coinciden.

Me gustaría en general discutir qué os parece la definición de centro, si se os ocurre alguna mejor, y si esperáis que coincidan para figuras arbitrarias. Huelga decir que en internet encuentro cosas interesantes, pero no me convencen del todo, y confío más en los usuarios del foro para atacar el problema.

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Centro geográfico

Hola Sater, en primera medida creo que los dos métodos de cálculo son diferentes y deberían dar resultados diferentes, uno pondera área, y el otro el cuadrado de la distancia al perimetro, solo en figuras regulares podría darse una coincidencia.

un contraejemplo de una función inyectiva angularmente desde el centro de masas ubicado en 1, podría ser una corona , el perímetro en la parte superior es mayor que en la inferior por lo que el que minimice la distancia al perímetro sera el 2 y como veras no coinciden cada uno esta del otro lado de la mitad del cuadrado imaginario que lo contiene.



creo que la ultima es facil de analizar

el CM esta en $(\frac 12,\frac 5 {16})$

y la figura la defines con

$y=2x+\frac 12 \to x\in[0,\frac14)$

$y=-2x+\frac 32 \to x\in[\frac14,\frac 12)$

$y=2x-\frac 12 \to x\in[\frac12,\frac34)$

$y=-2x+\frac 52 \to x\in[\frac34,1]$

aunque no he hecho cuentas, el minimo de la distancia al perimetro se acerca a los lugares donde hay mayor longitud de perimietro por unidad de angulo.

[sater]

Re: Centro geográfico

Hola Sater, en primera medida creo que los dos métodos de cálculo son diferentes y deberían dar resultados diferentes, uno pondera área, y el otro el cuadrado de la distancia al perimetro, solo en figuras regulares podría darse una coincidencia.

Realmente pondera la distancia, que es la raiz del cuadrado del módulo.

[ATTACH=CONFIG]14502[/ATTACH]

aunque no he hecho cuentas, el minimo de la distancia al perimetro se acerca a los lugares donde hay mayor longitud de perimietro por unidad de angulo.

Esta figura y esta frase me parecen muy acertadas. Realmente pensé en inyectividad desde todos los puntos interiores, pero muy pocas figuras lo cumplirían, así que tampoco debe ser un requisito demasiado importante. Pero con este ejemplo creo que me convences. Haciendo aun más denso el número de picos está claro que desplazas el centro definido como distancia mínima al contorno hacía esos puntos, mientras que conforme más densos los hagas el centro de masas coincidirá mas con el del cuadrado en sí, por lo que no pueden coincidir.

Por otro lado, queda ver cómo definir bien centro (pues como yo lo definí no sirve para contornos continuos). ¿Se te ocurre algo mejor?

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Centro geográfico

Te doy mi opinión,creo que quieres definir como centro a aquel punto que se ubique a menor distancia del resto de los puntos que componen el área.
Eso se logra, calculando los momentos de inercia de la figura geométrica. Como es una figura bidimensional de densidad constante, el calculo es sencillo.
Ahora cual es el eje que tiene menos momento de inercia?, pues por el teorema de Steiner se ve que el eje que pase por el centro de masa , es el que lo tiene, ya que el resto incrementa con el cuadrado de la distancia ese eje.
Por eso el mejor centro coincide con el centro de masa del área geométrica.

$X_c=\dfrac{\dst\int_A\,x\,\dd A}{\dst\int_A\,\dd A}$

$Y_c=\dfrac{\dst\int_A\,y\,\dd A}{\dst\int_A\,\dd A}$

[sater]

Re: Centro geográfico

Te doy mi opinión,creo que quieres definir como centro a aquel punto que se ubique a menor distancia del resto de los puntos que componen el área.

Realmente quería definirlo como punto a menor distancia de todos los puntos del contorno. Pero tal suma es infinita pues sumo distancias finitas, por lo que debería mejorarse la definición. He comprobado que para un conjunto de N puntos con masa m, el punto que minimiza la distancia al cuadrado (que no la distancia) coincide con el centro de masas del sistema, y podríamos pensar que entonces reorganizando los puntos podría obtener el contorno que quisiera, pero según tu contraejemplo (con el que estoy de acuerdo) veo que el punto que minimiza la distancia al contorno no tiene porque coincidir con el centro de masas, por lo que sospecho que la demostración no debe poder hacerse si se usa distancia a secas en lugar de distancia al cuadrado.

[Richard R Richard]

Re: Centro geográfico

Realmente quería definirlo como punto a menor distancia de todos los puntos del contorno.

Fíjate la dificultad de definirlo de ese modo

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Anex...gitud_de_costa

Cuanto mas longitud de costa irregular poseas, mas se acercara el centro hacia esa costa.
El otros método también incrementa la complejidad de cálculo pero no se desvía por los accidentes geográficos, sino mas bien por la inclusión de otros territorios de ultramar, ej Canarias en España , o el sector Antartico en mi país.

[sater]

Re: Centro geográfico

¿Y cual es la mejor definición de centro a tu parecer? Puedes inventártela, claro

[Visitante]

Re: Centro geográfico

¿Y cual es la mejor definición de centro a tu parecer? Puedes inventártela, claro

¿Qué te parece esta?

Sea $A$ un conjunto con volumen y frontera bien definida, diremos que $x \epsilon A$ es centro de $A$ si se cumple que $\forall P$ partición de $\partial A$, $x$ satisface ser el punto que cumple $inf\left\{ \sum_{y \epsilon P} d(x,y): x \epsilon A \right\}$

Evidentemente el centro no satisface esta definición para cualquier partición, pero vamos creo que la idea más o menos se ve

[sater]

Re: Centro geográfico

¿Qué te parece esta?

Sea $A$ un conjunto con volumen y frontera bien definida, diremos que $x \epsilon A$ es centro de $A$ si se cumple que $\forall P$ partición de $\partial A$, $x$ satisface ser el punto que cumple $inf\left\{ \sum_{y \epsilon P} d(x,y): x \epsilon A \right\}$

Va en la línea de la que yo dije, pero solventando el problema de sumar infinitas distancias, ¿no? Aun así podéis proponer la que se os ocurra, con los contraejemplos de Richard he perdido el interés en mejorar mi definición

[Weip]

Re: Centro geográfico

Como definición las fórmulas que ha dado Richard son ideales pero a la práctica son muy difíciles de aplicar pues hay que calcular el área de una zona geográfica que es un fractal. Es por ello que a la hora de calcular el centro geométrico de la península ibérica lo más efectivo es triangularla y calcularlo mediante descomposición geométrica. El resultado es que como mucho habrá que calcular los centros geométricos y las áreas de cada triángulo pero eso es muy fácil.

[Richard R Richard]

Re: Centro geográfico

Creeria que la solución viene del calculo integral como la que sigue, pero también te propongo una un tanto mas sencilla.

sean $(X_M,Y_M)$ los puntos del centro buscado y[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] n funciones definidas en porciones de dominio $x_{oi}$ y $x_{fi}$ donde $x_{o(i+1)}={x_fi}$ que hacen de limite superior e inferior del perímetro de la región a analizar entonces el centro cumple con


$\dfrac{\partial\dst\sum\limits_{i=1}^n\left(\dst\int\limits_{x_{oi}}^{x_{fi}}\dst\int\limits_{g(x)_i}^{f(x)_i} \left[(y-Y_M)^2+(x-X_M)^2)\right]\dd y \dd x \right)}{\partial x_M}=0$

y

$\dfrac{\partial\dst\sum\limits_{i=1}^n\left(\dst\int\limits_{x_{oi}}^{x_{fi}}\dst\int\limits_{g(x)_i}^{f(x)_i} \left[(y-Y_M)^2+(x-X_M)^2)\right]\dd y \dd x \right)}{\partial y_M}=0$


que si no me equivoco en la notación, y desarrollas los cuadrados y derivas , te lleva a que $(X_M,Y_M)$ coinciden con el centro de masa de la región con densidad de masa constante...yo creo que el baricentro es el mejor centro.
evito por simplicidad introducir la raiz cuadrada( modulo) ya que es inyectiva y el minimo se obtiene en lo mismos punto que su cuadrado.

Entonces la sencilla usaría compás y regla .
1 elegir 3 puntos del perímetro que permtan inscribir interiormente el perímetro con la circunferencia de menor radio.
2 elegir 3 puntos del perímetro que permtan inscribir exteriormente el perímetro con la circunferencia de mayor radio.
3 unir ambos centros de circunferencia con un segmento.
4 crear una circunferencia cuya superficie sea igual a la del pais
5 lo mas difícil transportar el centro de la ultima circunferencia a lo largo del segmento, hasta hallar un punto donde se igualen las superficies de las áreas inscriptas con las no inscriptas.

Aun no le halle contraejemplos, pero se me hace que se pueden dibujar superficies con mas de un segmento que darían mas de un centro, pero aun no lo probé.

[sater]

Re: Centro geográfico

Creeria que la solución viene del calculo integral como la que sigue, pero también te propongo una un tanto mas sencilla.

sean $(X_M,Y_M)$ los puntos del centro buscado y[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] n funciones definidas en porciones de dominio $x_{oi}$ y $x_{fi}$ donde $x_{o(i+1)}={x_fi}$ que hacen de limite superior e inferior del perímetro de la región a analizar entonces el centro cumple con


$\dfrac{\partial\dst\sum\limits_{i=1}^n\left(\dst\int\limits_{x_{oi}}^{x_{fi}}\dst\int\limits_{g(x)_i}^{f(x)_i} \left[(y-Y_M)^2+(x-X_M)^2)\right]\dd y \dd x \right)}{\partial x_M}=0$

y

$\dfrac{\partial\dst\sum\limits_{i=1}^n\left(\dst\int\limits_{x_{oi}}^{x_{fi}}\dst\int\limits_{g(x)_i}^{f(x)_i} \left[(y-Y_M)^2+(x-X_M)^2)\right]\dd y \dd x \right)}{\partial y_M}=0$


que si no me equivoco en la notación, y desarrollas los cuadrados y derivas , te lleva a que $(X_M,Y_M)$ coinciden con el centro de masa de la región con densidad de masa constante...yo creo que el baricentro es el mejor centro.
evito por simplicidad introducir la raiz cuadrada( modulo) ya que es inyectiva y el minimo se obtiene en lo mismos punto que su cuadrado.

Buenas Richard. En cuanto a esa (aunque la manera de derivar no me convence, yo realicé el gradiente) intentas comprobar si el centro definido como punto que minimiza la distancia al contorno coincide con centro de masas, ¿no? Creo que tus contraejemplos ya demostraban que no, y creo que el utilizar distancia al cuadrado es lo que cambia el asunto (pues como dije, yo obtenía que sí coincidían si utilizaba la distancia al cuadrado y un conjunto discreto de puntos), pues no coinciden el mínimo como tu dices, solo cuando hay una sola raíz pero aquí tenemos toda una suma.

Entonces la sencilla usaría compás y regla .
1 elegir 3 puntos del perímetro que permtan inscribir interiormente el perímetro con la circunferencia de menor radio.
2 elegir 3 puntos del perímetro que permtan inscribir exteriormente el perímetro con la circunferencia de mayor radio.
3 unir ambos centros de circunferencia con un segmento.
4 crear una circunferencia cuya superficie sea igual a la del psun5 lo mas difícil transportar el centro de la ultima circunferencia a lo largo del segmento, hasta hallar un punto donde se igualen las superficies de las áreas inscriptas con las no inscriptas.

Aun no le halle contraejemplos, pero se me hace que se pueden dibujar superficies con mas de un segmento que darían mas de un centro, pero aun no lo probé.

El punto 4 no lo consigo imaginar, podrías describirlo de nuevo? Aun así, esto se asemeja a las sumas inferiores y superiores de la integral de Riemann pero sin la triangulación que comentaba Weip (con la que concuerdo). Contestando a Weip de paso, coincidimos en que la mejor manera de definir el centro es como centro de masas (perfectamente calculable), solo quería saber si se os ocurren más y si son interesantes. Por ejemplo, aquí se propone una aunque no llego a entender del todo como la hace (la redacción deja que desear).

[Weip]

Re: Centro geográfico

Contestando a Weip de paso, coincidimos en que la mejor manera de definir el centro es como centro de masas (perfectamente calculable), solo quería saber si se os ocurren más y si son interesantes. Por ejemplo, aquí se propone una aunque no llego a entender del todo como la hace (la redacción deja que desear).

Mmm... No sé si acabo de seguirte porque la explicación del link en el fondo es la que he dado yo pero con cuadrados y no deja de ser una versión discretizada de las fórmulas que puso Richard en el mensaje #4. Es decir, que es la misma definición que la del centro de masa. Aún así antes de irme me gustaría hacer un comentario sobre tu definición original de centro como punto que minimiza la distancia a todos los puntos del contorno. Al principio has descartado la definición porque la suma de distancias diverge pero realmente creo que esta definición se puede salvar si en vez de hacer una suma infinita se hace una integral:

$\dst\sum_{y \in \partial X}|x-y|\to \dst\int_{\partial X}|x-y|dy$

Donde $X$ es la península ibérica o la zona geográfica que toque. Haciendo ésto se obtiene un problema bien definido. Cuando he escrito esto la integral me ha recordado a la esperanza $E|Y-x|$ de una variable aleatoria $Y$ definida en el contorno. Para precisar más he pensado que $Y$ ha de tener ley uniforme en $\partial X$ así que si $\mu(\partial X)$ es la longitud del contorno entonces el centro se podría definir como el punto $x$ que minimiza la esperanza:

$E|Y-x|=\dst\frac{1}{\mu(\partial X)}\dst\int_{\partial X} |y-x|dy$

Ahora la historia sería calcular $x$ y ver si coincide o no con el centro de masas. De hecho $x$ será la mediana de $Y$ así que tiene pinta de ser una buena definición de centro aún si no coincidiera con el centro de masas.

[Richard R Richard]

Re: Centro geográfico

Buenas Richard. En cuanto a esa (aunque la manera de derivar no me convence, yo realicé el gradiente) intentas comprobar si el centro definido como punto que minimiza la distancia al contorno coincide con centro de masas, ¿no? Creo que tus contraejemplos ya demostraban que no,

no en realidad el contorno definido con las funciones, solo limitan el area que evaluo, y lo que hago es calcular la sumatoria de las distancias al centro de cada diferencial de area, luego hago la derivada para hallar el maximo, si obviamente tenemos un pico(maximo o minimo) cuando el gradiente es nulo.

El punto 4 no lo consigo imaginar, podrías describirlo de nuevo?

Disculpa , ya corregí la ortografía que escribí en el móvil.

intento hacer un método sencillo para hacer con un simple mapa,lápiz, compas y goma de borrar,
con 1 tienes el centro de lo mas alejado de la costa,
con 2 tienes el centro de lo mas cercano a la costa,
con 3 tienes un segmento que une los dos centros
con 4 tienes una circunferencia de igual área a todo el país
con 5 si desplazas la circunferencia hasta hallar un punto donde el área de lo que queda del país fuera de la circunferencia es igual a lo que ha entrado de mar o de uno o varios países limítrofes.

ese punto del segmento creo que tiene buenas propiedades de centro, no es ni lejos ni cerca de la costa , y la superficie que lo rodea a poca distancia se intenta maximizar poniendo la misma cantidad territorio foráneo, que la que no entra la superficie circular del país.

no deja de ser una versión discretizada de las fórmulas que puso Richard en el mensaje #4. Es decir, que es la misma definición que la del centro de masa.

Totalmente de acuerdo cada cuadrado utilizado en ese documento tiene un area de calculada lado por lado , en la integral cada cuadrado infinitesimal esta dado por el área de dydx.

[sater]

Re: Centro geográfico

Mmm... No sé si acabo de seguirte porque la explicación del link en el fondo es la que he dado yo pero con cuadrados y no deja de ser una versión discretizada de las fórmulas que puso Richard en el mensaje #4. Es decir, que es la misma definición que la del centro de masa. Aún así antes de irme me gustaría hacer un comentario sobre tu definición original de centro como punto que minimiza la distancia a todos los puntos del contorno. Al principio has descartado la definición porque la suma de distancias diverge pero realmente creo que esta definición se puede salvar si en vez de hacer una suma infinita se hace una integral:

$\dst\sum_{y \in \partial X}|x-y|\to \dst\int_{\partial X}|x-y|dy$

Yo pensé algo así, pero no tiene sentido (o yo no se lo encuentro) poner $dy$, pues quieres sumar distancias (es como que "falta la medida"). Al calcular el centro de masas, sumas términos $\vec r dm$, que tiene sentido físico, pero aquí no veo que de la definición "distancia de un punto al contorno" haya que introducir el $dy$, no sé si me explico.

ese punto del segmento creo que tiene buenas propiedades de centro, no es ni lejos ni cerca de la costa , y la superficie que lo rodea a poca distancia se intenta maximizar poniendo la misma cantidad territorio foráneo, que la que no entra la superficie circular del país.

No me parece mala definición, la verdad, al menos para contornos sencillos. Gracias Richard.

EDITO:

He encontrado un artículo donde se comenta otra manera (minimizar distancias al cuadrado, tomando en cuenta la esfericidad de la tierra, implementándolo como un algoritmo que se repite hasta que el centro no varía). Lo podéis leer aquí.