1r ciclo Series de potencias

[pherving]

El ejercicio me pide estudiar el caracterde esta serie de potencias indicando para que valores de x la serie es convergente:

sumatorio desde n=1 hasta infinito de (n^2)·(3^n)·(x^n)

Es el segundo que intento hacer, pero es que me quedo enganchada a mitad. Me podriais decir como lo hariais vosotros?
Muchas gracias por vuestro tiempo

[Metaleer]

Re: Series de potencias

Aplica el criterio del cociente y obliga a que sea menor estricto que 1; para aquellos valores de x que hagan que valga 1, tienes que detenerte y estudiar la(s) serie(s) infinita(s) concreta(s).

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ | {\left( n + 1 \right) }^2\,3^{n + 1}\,x^{n + 1} |}<br /> { | n^2\,3^n\,x^n | } = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ | 3\,{\left( 1 + n \right) }^2\,x | }{| n^2 |} = |3x| = 3 |x|$

Se tiene que cumplir

$3|x| < 1 \Rightarrow |x| < \frac{1}{3}$

Luego el intervalo básico de convergenciade tu serie, al estar centrada en el origen, es $\displaystyle \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$

Si particularizas en los extremos del intervalo, obtendrás dos series que no convergen, luego en definitiva tienes un intervalo de convergencia $\displaystyle \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$.

La demostración de que las dos series particularizadas en los extremos no convergen se realiza, por ejemplo, de la siguiente forma:


$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty }n^2\,3^n\,<br /> {\left( -\left( \frac{1}{3} \right) \right) }^n = \sum_{n = 1}^{\infty } {\left( -1 \right) }^n\,n^2 = \infty$

Que lo puedes demostrar por el criterio de Leibniz para series alternadas (observa que $n^2$ ni es decreciente ni tiende a 0), y para acabar

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty }n^2\,3^n\,<br /> {\left( \frac{1}{3} \right) }^n = \sum_{n = 1}^{\infty } n^2 = \infty$

Que es evidente (el término general ni tiende a 0).

Te invito a que pruebes a calcular el radio de convergencia con el siguiente límite

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{| a_n |}{| a_{n+1} |}$

Donde $a_n$ es ahora la sucesión que "acompaña" a todo lo que lleve x.

Resultará ser $\displaystyle \frac{1}{3}$ tal y como esperábamos.

Saludos.

[pherving]

Re: Series de potencias

Muchiiiiisimas gracias!!! Ha sido muy esclarecedor. Ojala mis profesores explicaran la mitad de bien que tu

[Metaleer]

Re: Series de potencias

De nada hombre, para eso estamos.