1r ciclo algunos limites

[gunbladecat]

bueno, ya estoy aqui otra vez preguntando sobre calculo pero me resulta la asignatura mas dura de 1º de carrera con diferencia...

aver ahora tngo q calcular un par de limites, pero la verdad no tengo ni idea de como apañarmelas para resolverlo, y es que esto de los limites se me esta cruzando y mucho... aver si me pueden echar una manita...

lim(1+1/n^2)^n (cuando n tiende a infinito)

lim[(1+a+a^2+...+a^n)/(1+b+b^2+...+b^n)

(cuando n tiende a infinito y teniendo en cuenta que: |a|<1,|b|<1)

no hace falta que los resuelvan si no quieren con que me den una idea de por donde tirar o cual es la idea veré si puedo apañarmelas, pq casi q prefiero hacerlos por mi mismo aunq m quedé trabado, por eso pido una manita solo.

muchas gracias por vuestra colaboracion!

PD: vale el 1º ya lo vi es con el numero e...

[Frank]

Re: algunos limites

En el segundo caso podrias probar de buscar un par de sucesiones que acoten inferior y superiormente a la sucesión del problema y que tengan el mismo límite.

[Jose D. Escobedo]

Re: algunos limites

Para el primero usa el limite:

$\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$ como pista. Te dire que el resultado es 1

En el caso de el segundo, ve el hilo, que esta localizado en esta seccion de calculo bajo el nombre de "Un limite" la indicacion del post #4 te ayudara mucho, unicamente tienes que hacer "y=1" y "x=a $\' o$ b

Later

[gunbladecat]

Re: algunos limites

inferiormente hace falta? pq al ser todos positivos no tendira a algun numero mayor que 0? (bueno dependiendo de los valores de a y b claro...) digo q solo necesitaria una cota superior no?

pero tengo una duda, si sumamos infinitos sumandos al numerador y al denominador, aunq estos se hagan cada vez mas pequeños, no tendira a infinito la expresion? bueno eso en casi que a>b, si a<b tendiria a 1 no? lo q no se es como demostrarlo, luego lo q me dijiste sobre una sucesion que tenga el mismo limite no acabo de entenderlo. como se que tiene el mismo limite si no conozco el de esta?

gracias.

PD: respecto a la ayuda de Escobedo, el primero ya lo resolvi por mi mismo, gracias, y lo del segundo no acabo de entenderlo. para que sirve esa expresion del otro post, q significan las variables que estan alli y pq sustituirlas por 1, a o b. esq no me gusta hacer las cosas pq si y nunca habia visto esa expresion antes...

[Jose D. Escobedo]

Re: algunos limites

Esa expresion la puedes encontrar cuando en cualquier libro de algebra, yo en particular la encontre en un libro de la serie schaum, pero si no la quieres usar entonces usa series geometricas. Te dire que el resultado de tu limite es $\displaystyle \frac{1-b}{1-a}$

[gunbladecat]

Re: algunos limites

pueden explicarme pues como se usa esa expresion para resolver mi limite? siento ser tan pesado

esa expresion ha como factorizado una expresion mas compleja no? ufff no me aclaro.. grax

[Metaleer]

Re: algunos limites

pueden explicarme pues como se usa esa expresion para resolver mi limite? siento ser tan pesado

esa expresion ha como factorizado una expresion mas compleja no? ufff no me aclaro.. grax

Para el primero de los límites sólo tienes que tener en cuenta lo que te ha comentado el compañero Jose D. Escobedo.

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\right)^n\right)^\frac{1}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^\frac{1}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n}} = e^{\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}} = e^0 = 1$

Para el segundo, como te dicen que los valores absolutos de a y b son menores que la unidad, en el numerador y el denominador tienes dos series infinitas convergentes.

Saludos.

[gunbladecat]

Re: algunos limites

el primero ya lo he resuelto me referia a la otra expresion para resolver el 2º... vamos que como se a que valor convergen esas 2 series infinitas...

[Metaleer]

Re: algunos limites

el primero ya lo he resuelto me referia a la otra expresion para resolver el 2º... vamos que como se a que valor convergen esas 2 series infinitas...

Recuerda que

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a^n = 1 + a + a^2 + a^3 + \ldots + a^{n-1} + a^n + \ldots = \frac{1}{1 - a},~|a| <1$

La demostración la puedes encontrar en cualquier libro de Cálculo, seguramente.

Dividiendo tienes pues

$\displaystyle\frac{\frac{1}{1 - a}}{\frac{1}{1 - b}} = \frac{1 - b}{1 - a}$

Saludos.

[gunbladecat]

Re: algunos limites

esto es lo que andaba buscando voi a ver si en alguno de mis libros la encuentro la demostracion, sino ya pedire aver si alguien me la puede copiar aqui si no es mucha molestia, pero de momento voi a buscarla...

muxas gracias

PD: ya encontre la demostracion en mi libro de calculo. pueden cerrar el post ya. gracias a todos los participantes.