1r ciclo Propiedad transformada de Fourier

[kempes]

Hola

Estoy haciendo problemas de la transformada de Fourier y me encuentro con el siguiente:

Si $F(k)=TF\{f(x)\},k\neq o$ donde TF indica la transformada, y $F(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)du\neq 0$ , demostrar que

$TF\{\int_{-\infty}^{x}f(u)du\}=-i \frac{F(k)}{k} +\pi F(0)\delta(k)$

Yo procedo de la siguiente manera:

$TF\{\int_{-\infty}^{x}f(u)du\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \{\int_{-\infty}^{x}f(u)du\}e^{-ikx}dx$

e integro por partes con $w=\int_{-\infty}^{x}f(u)du$ por lo que $dw=f(x)dx$

De este modo obtengo

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\int_{-\infty}^{x}f(u)du \frac{i}{k} e^{-ikx}\}|_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{i}{k}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx$

El ultimo termino es $-\frac{i}{k}F(k)$ y , en el segundo, $\frac{i}{k} e^{-ikx}\}|_{-\infty}^{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx = 2\pi\delta(k)$

El caso es que con $\{\int_{-\infty}^{x}f(u)du|_{-\infty}^{\infty}$ no se muy bien que hacer. Si los limites de integracion pasaran a ser menos infinito e infinito, entonces tendria :

$TF\{\int_{-\infty}^{x}f(u)du\}=-i \frac{F(k)}{k} +\sqrt{2\pi} F(0)\delta(k)$

Esta bien hecho ese paso? Y si lo esta, ¿por que me sale un $\sqrt{2\pi}$ en lugar de $\pi$? Igual tengo otro error por ahi que no lo vi , no lo se.

Un saludo y gracias

[polonio]

Re: Propiedad transformada de Fourier

Después del paso



yo cambiaría el orden de integración (cambiando los límites, claro: Teor. de Fubini): primero integraría respecto a $x$ y luego respecto a $u$...

[kempes]

Re: Propiedad transformada de Fourier

Hola polonio.

Pero , si integro directamente con respecto a x me queda:

$\sqrt{2\pi}\delta(k)\int_{-\infty}^{x}f(u)du$

Y de aqui no se como obtener la expresion que me piden que demuestre, porque, ¿como integro esa expresion con respecto a $u$ si no conozco $f(u)$?

Un saludo y gracias por responder

[eljose]

Re: Propiedad transformada de Fourier

hola siguiendo con este tema.. no sabia donde ponerlo pero tuve un problema similar sea

$g(u)= \int_{0}^{\infty} f(x) cos(ux)$

entonces $g(i/2)+g(-i/2)= 2\int_{0}^{\infty} f(x) exp(x/2)$

siempre y cuando f(x) sea tal qeu su integral exista , y ademas f(x)=f(-x) mi idea es que si, ya que si expandimos el coseno como suma de exponenciales daria algo similar pero NO puedo probarlo rigurosamente.

[polonio]

Re: Propiedad transformada de Fourier

Hola polonio.

Pero , si integro directamente con respecto a x me queda:

$\sqrt{2\pi}\delta(k)\int_{-\infty}^{x}f(u)du$

Y de aqui no se como obtener la expresion que me piden que demuestre, porque, ¿como integro esa expresion con respecto a $u$ si no conozco $f(u)$?

Un saludo y gracias por responder

Se me ocurre que la relaciones con la integral de a $\infty$...

[kempes]

Re: Propiedad transformada de Fourier

Pues no se me ocurre como la puedo relacionar.He editado mi primer mensaje porque en la definicion de $F(0)$ la integral es de menos infinito a infinito (un despiste). ¿Te referias a esa integral?.

Un saludo

[pod]

Re: Propiedad transformada de Fourier

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\int_{-\infty}^{x}f(u)du \frac{i}{k} e^{-ikx}\}|_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{i}{k}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx$

(...) en el segundo, $\frac{i}{k} e^{-ikx}\}|_{-\infty}^{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx = 2\pi\delta(k)$

A mi me parece que es este el paso que está mal. No puedes substituir el límite sólo en media expresión. Está claro que cuando haces $x = -\infty$ esto vale cero, ya que tienes una integral con el mismo límite inferior que superior. Ahora, creo recordar que una de las representaciones de la delta de Dirac era

$$\lim_{x\to\infty} \eee{-i k x} \propto\delta(k)\ .$$

Ahora te toca a ti comprobar si mi precaria memoria está en lo cierto; y si es así cual es el coeficiente que va.

Si te faltan o sobran factores $\pi$, ten en cuenta que hay muchos criterios diferentes para definir la transformada (factores y de más); asegurate de estar usando el mismo que el libro/enunciado.

[kempes]

Re: Propiedad transformada de Fourier

Hola , perdon por tardar tanto en contestar, estuve liado estos dias.

Este limite,

$$\lim_{x\to\infty} \eee{-i k x} \propto\delta(k)\ .$$

¿no tiende a cero cuando x tiende a infinito?.

He probado con otro metodo, usando la convolucion:


$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(x-u)du$

Tomando $g(x-u)$como la funcion de Heaviside,y con $x-u>0$, la convolucion es:

$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(x-u)du=\int_{-\infty}^{x}f(u)du$

Asi pues,



$TF\{\int_{-\infty}^{x}f(u)du\}=TF\{(f*g)(x)\}=\sqrt{2\pi}F(k)G(k)$


Pero, la transformada de la funcion de Heaviside es

$TF\{g(x)\}=\frac{-i}{k\sqrt{2\pi}}+\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(k)$

Entonces me queda que

$TF\{\int_{-\infty}^{x}f(u)du\}=\frac{-iF(k)}{k}+\pi F(k)\delta(k)$

Pero, como no podia dejar de pasar , no sale igual, aparece $F(k)$ y no $F(0)$en el segundo termino. ¿Como obtengo ese valor? ¿No es correcto lo que he hecho?

PD:Pongo al final $g(x-u)$ porque si no me fastidia todo el mensaje, no se por que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos