Secundaria Diferenciales

[Aradan]

Tengo una pregunta en general, que todavía no al tengo del todo clara la respuesta.
¿Por qué en física, es equivalente por ejemplo, hacer:

g= dx / dt --> g dt = dx

O sea, en general se trabaja con las diferenciales multiplicándolas de un lado a otro. En parte sé que dx es simplemente un diferencia o cambio infinitesimal, pero me acuerdo que en cursos de matemáticas más rigurosos los profesores hablaban o mal de los físicos por hacer esas "informalidades"
No se si es por topología, las métricas, o el espacio en que uno se define. Me gustaría aclararlo, porque varios resultados los hacen así. De hecho funciona, pero rigurosamente no se el fundamento

(no se bien donde clasificarlo porque los cursos , primaria secuandaria, etc no los conozco )

[polonio]

Re: Diferenciales

Hombre lo que está mal es decir que el diferencial de una función se obtiene "despejando".

Pero sí es verdad que $df(x)=\frac{df}{dx}dx=f'(x)dx$

Para una función de varias variables, por ejemplo: $df(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$.

[Dj_jara]

Re: Diferenciales

Como ha dicho Polonio lo que esta mal es decir que se obtiene despejando, aunque si es en clase es mejor o decir eso o poner la formula sin decir nada, la cosa es sencilla cuando se "despeja" lo que se quiere hacer al final es integrar y obtener la expresión integrada, en el caso que has puesto:

$g = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

en la siguiente expresión se pondria entender que se ha pasado el diferencial de t multiplicando pero en realidad lo que se esta haciendo en integrar respecto a t :

$\int g \mathrm{d}t = \int \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$

teniendo en cuenta que $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$ no es más que un cambio de variable, queda

$\int g \mathrm{d}t = \int \mathrm{d} x$

[Aradan]

Re: Diferenciales

M... como lo dicen, me convence más. De hecho sí conocía tales reglas, pero parece que se omiten muchas veces, de hecho es obvio cuando los cálculos son muy largos
Gracias

[pod]

Re: Diferenciales

Otra forma de verlo es partir de la definición de cada cosa en función de límites:

$$\begin{aligned}<br /> \dd f & = \lim_{\epsilon\to0} \Big(f(x+\epsilon) - f(x) \Big)\ , \\<br /> \dd x & = \lim_{\epsilon\to0} \Big( (x+\epsilon) - x \big) \ .<br /> \end{aligned}$$

Por lo tanto, el cociente de diferenciales sería

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
La derivada es ese mismo cociente, pero con el límite "fuera", es decir,

$$D_x f = \lim_{\epsilon\to0} \dfrac{ f(x+\epsilon) - f(x) }{\epsilon} \ .$$

Pues bien, ¿bajo que condiciones el "cociente de límites" es igual al "limite del cociente"? Pues hay una serie de teoremas que te dicen cuales son esas condiciones, normalmente se cumplen para las funciones normales. No siempre, pero casi siempre. A la práctica, resulta útil olvidarse de ese detalle y tirar millas utilizando esa relación... si alguna vez llegas a algún resultado raro, significa que la función que estás tratando no cumple esa condición.

De hecho, este es el origen de la notación que nos permite escribir la derivada como un cociente de diferenciales.