1r ciclo Derivada n-esima

[pherving]

El problema me pide que calcule la derivada decima de la funcion:
y=(1+x)/(1-x)

Estoy intentando aplicar la formula de Leibnitz (creo que se llama asi), que dice que la derivada n esima es el sumatorio de n sobre r por f^n-r por g^r. Mi duda es si tengo que resolver todos los terminos de ese sumatorio uno por uno, porque si es asi, mas me vale resolver las derivadas directamente...
Alguien me podria echar una manita??
Muchas gracias de antemano

[[Beto]]

Re: Derivada n-esima

Hola, a ver si puedo ayudarte:

Lo que haré será derivar a ver si encuentro alguna regla de recurrencia:

$$\begin{aligned}<br /> y&=\frac{1+x}{1-x}\\<br /> y'&=\frac{2\cdot 1!}{(1-x)^2}\\<br /> y''&=\frac{2\cdot 2!}{(1-x)^3}\\<br /> y'''&=\frac{2\cdot 3!}{(1-x)^4}\\<br /> &\vdots\\<br /> y^{(n)}&=\frac{2\cdot n!}{(1-x)^{n+1}}<br /> \end{aligned}<br />$$

Y creo que con eso terminaría el ejercicio, para darle una forma más formal a la regla de correspondecia que se ha deducido puedes usar inducción.

[pherving]

Re: Derivada n-esima

En primer lugar, N30F3B0, enhorabuena por haber ganado el desafio.
En segundo lugar, gracias por ayudarme con el problemita. A mi tambien se me habia ocurrido buscar algun patron o recurrencia, el problema es que he caido en el cuando ya iba por la derivada novena...

[pherving]

Re: Derivada n-esima

Yo no quisiera abusar, pero me he quedado enganchada en otra derivada n-esima
No parece dificil, pero he ido haciendo derivadas y no veo que siga ningun patron ni recurrencia...:

y=xsinx

Si alguien lo sabe hacer, por favor que me heche una manilla.
Gracias!

[BigMess]

Re: Derivada n-esima

Pues yo las he hecho y sí que veo una recurrencia, lo que no sé es cómo escribirlo en una sola fórmula, lo pensaré

sinx+xcosx
2cosx-xsinx
-3sinx-xcosx
-4cosx+xsinx
5sinx+xcosx
6cosx-xsinx
-7xinx-xcosx
-8cosx+xsinx

[pherving]

Re: Derivada n-esima

Claro, el problema viene a la hora de tener que escribir la formulita n-esima, que no se me ocurre como. Se ve la recurrencia, muchas gracias BigMess por hacerte las 8 derivadas (que se que es un poco rollo). Ahora que estan hechas, si alguien pasa por aqui y le viene la idea feliz, agradeceria que pusiera la respuesta. Yo la sigo pensando, y si la saco la pongo.
Muchiiiisimas gracias!!!!

[[Beto]]

Re: Derivada n-esima

Hola quizas se pueda solucionar usando serie de taylor y expresarla formula de recurrencia en forma de una sumatoria.

[_FoX_]

Re: Derivada n-esima

Creo que ya lo resolví,

$$\begin{aligned}<br /> y'&=1\sin\left(x+\dfrac{0\pi}{4}\right)+x\sin\left(x+\dfrac{1\pi}{4}\right) \\<br /> y''&=2\sin\left(x+\dfrac{1\pi}{4}\right)+x\sin\left(x+\dfrac{2\pi}{4}\right) \\<br /> y'''&=3\sin\left(x+\dfrac{2\pi}{4}\right)+x\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{4}\right) \\<br /> &\vdots \\<br /> y'^{n}=n&\sin\left(x+\dfrac{(n-1)\pi}{4}\right)+xsin\left({x+\dfrac{n\pi}{4}\right)<br /> \end{aligned}<br />$$

Si te fijas, la única forma de conseguir cambiar de seno a coseno y a la vez obtener la secuencia +,+,-,- en los signos, es ir variando la función seno(o coseno) en 90°.

[_FoX_]

Re: Derivada n-esima

Mmm, yo no sé mucho de derivadas, pero he utilizado los resultados de BigMess para generalizar y lo conseguí, pero no había entendido mucho los resultados.

Viendo mi solución, me puse a pensar y me di cuenta de que si las funciones varían en 90°, se puede llegar a una solución más fundamentada de mi parte. Por una común definición de derivada que he oído que dice "La pendiente de un punto o la recta tangente a la curva en dicho punto". Como la tangente es perpendicular a la curva, quiere decir que la derivada de una función es perpendicular a ella en cada punto (no sé si esté en lo correcto, estoy interpretando), entonces simplemente a cada función trigonométrica al derivar, hay que agregarle 90° a sus componentes y ahí estaría el fundamento.

[pod]

Re: Derivada n-esima

Como la tangente es perpendicular a la curva,

La tangente es tangente a la función en cada punto, eso es lo contrario de perpendicular.

quiere decir que la derivada de una función es perpendicular a ella en cada punto

No, la derivada como función no tiene por que ser perpendicular, ni paralela, a la función original.

Es imposible que una función continua sea perpendicular a otra en cada punto... Y la única función que es tangente a otra en cada punto es ella misma


Por otra parte, tu forma de generalizar es brillante, aunque tienes una errata; tus $\pi/4$ deberían ser $\pi/2$. Además, la derivada n-esima se indica tal que $y^{(n)}$ (el paréntesis se pone para no confundirse con una potencia), así que la forma correcta debe ser

$$y^{(n)} = n \sin\left( x + (n-1) \frac\pi2\right) + x \sin\left( x + n \frac\pi2 \right) \ ,$$

o bien

$$y^{(n)} = -n \cos\left( x + n \frac\pi2\right) + x \sin\left( x + n \frac\pi2 \right) \ ,$$

[_FoX_]

Re: Derivada n-esima

La tangente es tangente a la función en cada punto, eso es lo contrario de perpendicular.


No, la derivada como función no tiene por que ser perpendicular, ni paralela, a la función original.

Es imposible que una función continua sea perpendicular a otra en cada punto... Y la única función que es tangente a otra en cada punto es ella misma

Mis malos instintos... pero pronto sabré derivar funciones trigonométricas.

Por otra parte, tu forma de generalizar es brillante, aunque tienes una errata; tus $\pi/4$ deberían ser $\pi/2$. Además, la derivada n-esima se indica tal que $y^{(n)}$ (el paréntesis se pone para no confundirse con una potencia), así que la forma correcta debe ser

$$y^{(n)} = n \sin\left( x + (n-1) \frac\pi2\right) + x \sin\left( x + n \frac\pi2 \right) \ ,$$

o bien

$$y^{(n)} = -n \cos\left( x + n \frac\pi2\right) + x \sin\left( x + n \frac\pi2 \right) \ ,$$

Alguien me dijo hace unos días que debía acostumbrarme a los radianes , pues en eso estoy, olvidé que $P=2\pi r$ y que $\pi=180\°$.

[pherving]

Re: Derivada n-esima

Me ha encantado este pequeño intercabio de opiniones, gracias al cual he podido entender mucho mejor algunas cosas
_FoX_, no se que nivel de conocimientos tienes en calculo, pero ya te digo que ni a mi ni a los que estudian conmigo se nos habria ocurrido esa forma de generalizar. Muchiiisimas gracias