1r ciclo Calculo de limites

[pherving]

Si alguien esta aburrido y le apetece pensar un limite, ahi va uno:
limite cuando x tiende a infinito de la funcion [ln(sinh x)-x]/2

Yo llevo intentando hacerlo toda la tarde. He probado sacando el 1/2 del limite y sustituyendo el sinh x por su "definicion" e^x-e^-x/2 a ver si con el ln se podia simplificar algo, pero parece que no llego a ningun sitio...

Si a alguien se le ocurre algo, que lo comente.
Muchas gracias por vuestras neuronas

[Metaleer]

Re: Calculo de limites

Hola,

Teniendo en cuenta que $x = \ln (e^x)$, obtienes la siguiente cadena de igualdades (el 2 dividiendo lo he obviado):

$\ln (\sinh(x)) - x = \ln \left(\displaystyle\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right) - \ln (e^x) = \ln\left(\displaystyle\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \cdot \frac{1}{e^x}\right) = \ln \left(\displaystyle\frac{1}{2} - \frac{e^{-2x}}{2}\right)$

Al que ya puedes calcularle fácilmente el límite. No se te olvide el $\frac{1}{2}$ multiplicando que he obviado en los cálculos pero que sí tienes presente en el límite original.

Saludos.

[pod]

Re: Calculo de limites

Aún más sencillo, es fácil ver que $\sinh x$ en el infinito se comporta como $\eee{x}/2$; es decir

$$\lim_{x\to\infty} \dfrac{\sinh x}{\eee{x}/2} = 1 \ .$$

Es fácil entender por qué es así, el término que faltaría, $\eee{-x}/2 \to 0$. O sea que haciendo esa substitución, el límite te saldrá muy sencillo.

[pherving]

Re: Calculo de limites

Muchas gracias chic@s

[Metaleer]

Re: Calculo de limites

De nada, hombre. Para eso estamos.