1r ciclo Una duda sobre series

Tengo un ejercicio de series, que no sé resolver y creo que es pq no entiendo bien el enunciado, a ver si alguien es capaz de explicármelo.

Sea la sucesión de las sumas parciales: Sn = (4n+3)/(2n-1)

(a) Obtener el término general de la serie
(b) Calcular la suma si la serie converge


Gracias y un saludo!

[BigMess]

Re: Una duda sobre series

hola,

yo no se obtener el termino general de la serie, pero la suma es igual al limite de sn, si existe(que en este caso si)

[[Beto]]

Re: Una duda sobre series

Tengo un ejercicio de series, que no sé resolver y creo que es pq no entiendo bien el enunciado, a ver si alguien es capaz de explicármelo.

Hola, intentaré resolver el ejercicio.

Sea la sucesión de las sumas parciales: Sn = (4n+3)/(2n-1)

Eso dignifica que:

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=\frac{4n+3}{2n-1}$$

(a) Obtener el término general de la serie

Acá te estan pidiendo $a_n$, tienes que tener en cuenta que:

$$S_n=\sum_1^na_n=\frac{4n+3}{2n-1}$$

Acá tienes que recordar que:

$$\sum_1^k\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$$

Entonces tenemos que encontrar el valor de $k$, que hace que la expresión (3) sea idéntica a (2), del siguiente modo:

$$\frac{k}{k+1}=\frac{4n+3}{2n-1}$$

De donde se obtiene que:

$$k=-\frac{2n-4}{2n+3}$$

Por tanto:

$$a_n=\frac{1}{\left(\frac{2n-4}{2n+3}\right)\left(\frac{2n-4}{2n+3}-1\right)}=\frac{(2n+3)^2}{7(4-2n)}$$

(b) Calcular la suma si la serie converge

Si converge, pues:

$$\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{4n+3}{2n-1}=\frac{4}{2}$$

[Dj_jara]

Re: Una duda sobre series

Eso dignifica que:

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=\frac{4n+3}{2n-1}$$

Acá te estan pidiendo $a_n$, tienes que tener en cuenta que:

$$S_n=\sum_1^na_n=\frac{4n+3}{2n-1}$$

Acá tienes que recordar que:

$$\sum_1^k\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$$

Entonces tenemos que encontrar el valor de $k$, que hace que la expresión (3) sea idéntica a (2), del siguiente modo:

$$\frac{k}{k+1}=\frac{4n+3}{2n-1}$$

De donde se obtiene que:

$$k=-\frac{2n-4}{2n+3}$$

Por tanto:

$$a_n=\frac{1}{\left(\frac{2n-4}{2n+3}\right)\left(\frac{2n-4}{2n+3}-1\right)}=\frac{(2n+3)^2}{7(4-2n)}$$

Eso que estas haciendo tiene un problema, (aparte de que usas el mismo indice que varia con la serie que el número final), si la suma parcial es

$$\sum_{i=1}^n a_i = \frac{4n+3}{2n-1}$$

y tu haces

$$S_n = \sum_{i=1}^k \frac{1}{k(k+1)}$$

si eso lo igualas a la suma parcial n-essima, obtienes claramente k = n (que no se cumple), entoces hay que concluir que los terminos de la serie no tienen la forma de

$$\frac{1}{k(k+1)}$$

.

Obtener el termino de la serie es bastante fácil, miremos como son las sumas parciales

$$S_n = \sum_{i=1}^n a_i = \frac{4n+3}{2n-1}$$

donde n es un número real sin determinar, ahora restemos la suma parcial (n-1)-essima

$$S_n - S_{n-1} = a_n = -\frac{10}{(2n-1)(2n-3)}$$

[[Beto]]

Re: Una duda sobre series

Me equivoqué

[soitib]

Re: Una duda sobre series

Gracias a todos por vuestra ayuda!!!
La única duda que me queda es la siguiente: para calcular la suma de la serie se hace un límite cuyo resultado es 2. Pero esto... ¿me asegura que la serie converge? Es decir, ¿no tendría que aplicar previamente un criterio de convergencia antes de pasar al cálculo del límite?

[Metaleer]

Re: Una duda sobre series

Es que la sumabilidad o no de una serie infinita se suele definir en términos del límite de la sucesión de sumas parciales $S_n$; si esta sucesión tiende a un número cuando $n \rightarrow \infty$, se dice que la serie converge y además vale lo que vale tal límite.

Por supuesto, el cálculo de a lo que converge una serie infinita (si es que converge) admite más métodos de resolución; la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ se suele calcular con el desarrollo en serie de Fourier de la función $x^2$; otros se basan en resultados ya conocidos, como $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$; otros pasan por una descomposición en fracciones simples y aplicar las fórmulas pertinentes. En este caso, podías haber deducido el término general de la serie infinita y aplicarle como bien dices algún criterio, pero es que en este caso aparte de poder comprobar la convergencia ya te dan la sucesión de sumas parciales que te permite calcular fácilmente a qué converge la serie.



Saludos.

[soitib]

Re: Una duda sobre series

Muchas gracias por la aclaración.