1r ciclo Más límites

A ver si me echáis un cable con este límite:

lim x^x^x
x->0

lim x^x^x
x->inf


Gracias!

[Metaleer]

Re: Más límites

Hola,

El segundo de los límites no presenta demasiada dificultad, para el primero tomas logaritmos en ambos miembros (el límite será por la derecha del 0) , de esta manera :

$\displaystyle \ln L = \ln \lim_{x \rightarrow 0^+} x^{x^x} \Rightarrow L = e^{\displaystyle \ln \left( \lim_{x \rightarrow 0^+} x^{x^x}\right)} = e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln x^{x^x}} = e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \left(x^x \cdot \ln x\right)} = 0$

ya que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x = 1$ (por L'Hospital y aplicar el mismo truco con el logaritmo, compruébalo). Espero no haberme equivocado.


Saludos.

[soitib]

Re: Más límites

¿Seguro que el límite de x^x da 1?
Es que no sé como haces para aplicar L'Hopital...
¿Y cuánto da
lim lnx?
x->0



Gracias.

[Metaleer]

Re: Más límites

Hola,

Para el límite de $x^x$ cuando $x \rightarrow 0^+$, haces lo mismo que antes; sea $L$ el límite que buscas, entonces

$\displaystyle \ln L = \ln \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x \Rightarrow L = e^{\displaystyle \ln \left( \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x\right)}= e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \ln x^x} = e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} x \cdot \ln x} = e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}} = \{L'Hospital\} = e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}} = e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} -x} = e^0 = 1$

El límite del neperiano deberías saberlo... mira la gráfica del logaritmo neperiano, verás que diverge a $-\infty$ cuando $x \rightarrow 0^+$.

Saludos.

[Pirata de Silla]

Re: Más límites

$\lim_{x\to 0} x^{x^x} = \lim_{x\to 0} x^{x^2} = \lim_{x\to 0} x^{2x} = \lim_{x\to 0} \ln \mathrm{e}^{x^{2x}} = \lim_{x\to 0} \ln \mathrm{e}^{2x^2} = \lim_{x\to 0} 2x^2\ln \mathrm{e} = 0$

[polonio]

Re: Más límites

$\lim_{x\to 0} x^{x^x} = \lim_{x\to 0} x^{x^2} = \lim_{x\to 0} x^{2x} = \lim_{x\to 0} \ln \mathrm{e}^{x^{2x}} = \lim_{x\to 0} \ln \mathrm{e}^{2x^2} = \lim_{x\to 0} 2x^2\ln \mathrm{e} = 0$

Este problema ya estaba resuelto de forma correcta. Pero, bueno, parece que no estás de acuerdo a cómo se hizo o tienes otra forma.

Analizando la forma en que lo haces, ¿de dónde te sacas los dos primeros pasos? ¿Estás seguro que es correcto lo que haces?

[Pirata de Silla]

Re: Más límites

Este problema ya estaba resuelto de forma correcta. Pero, bueno, parece que no estás de acuerdo a cómo se hizo o tienes otra forma.

Analizando la forma en que lo haces, ¿de dónde te sacas los dos primeros pasos? ¿Estás seguro que es correcto lo que haces?

No. Lo que yo he escrito está mal. Lo correcto es lo que ha hecho Metaleer. No borro lo mío, para que los lectores puedan ver el error en los dos primeros pasos, a los que uno puede llegar erróneamente si uno se basa en que (x^n)^m = x^nm. Mi error ha consistido en considerar las potencias números enteros.

Gracias. Que el error sirva de lección.

[pod]

Re: Más límites

No. Lo que yo he escrito está mal. Lo correcto es lo que ha hecho Metaleer. No borro lo mío, para que los lectores puedan ver el error en los dos primeros pasos, a los que uno puede llegar erróneamente si uno se basa en que (x^n)^m = x^nm. Mi error ha consistido en considerar las potencias números enteros.

Gracias. Que el error sirva de lección.

De hecho, $(x^n)^m = x^{nm}$ es válido aunque n y m no sean enteros. Lo que ocurre es que la función que tratábamos era del estilo $x^{x^x} = x^{(x^x)}$, que no es lo mismo que $(x^x)^x$.

Por ejemplo, si x = 3,

$$<br /> x^{x^x} = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987\ ,$$

mientras que

$$<br /> (x^x)^x = (3^3)^3 = 27^3 = 19683\ .$$