1r ciclo derivada de orden k de la funcion zeta de Riemann

[eljose]

tengo una duda

$D^k \zeta (s)= (-1)^k \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}log(n)^k$

que es la derivada k-esima de la funcion zeta cuando s >1

mi duda es si k es entero NO pasa nada pero y si 'k' es un numero real cualquiera?? en muchos casos $(-1)^{k}$ sera un numero complejo par k real lo cual es muy raro ya que se supone que las derivadas de orden fraccionario de una funcion real SON reales.. o deberian serlo.

[pod]

Re: derivada de orden k de la funcion zeta de Riemann

Uhm... ¿Y como consigues derivar, por ejemplo, una vez y media?

[Dj_jara]

Re: derivada de orden k de la funcion zeta de Riemann

Uhm... ¿Y como consigues derivar, por ejemplo, una vez y media?

Eso lo que hace es extender las derivadas de una potencia de x, veamos

$$\frac{\mathrm{d}^k x^n}{\mathrm{d}x^k} = \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}$$

entonces si eso es para k natural, pues cogemos y si k no es racional pues donde ponia factorial ponemos la función gamma correspondiente

$$\frac{\mathrm{d}^k x^n}{\mathrm{d}x^k} = \frac{\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-k)} x^{n-k}$$

más de esto no se, si es una función complicada intentaria hacer un desarollo en serie y aplicar eso

pero bueno, al caso, veamos la derivada 1/2 de $x^n$

$$\frac{\mathrm{d}^{1/2} x^n}{\mathrm{d}x^{1/2}} = \frac{\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1/2)} x^{n-1/2}$$

si n es natural (!= 0)

$$\frac{\mathrm{d}^{1/2} x^n}{\mathrm{d}x^{1/2}} =2^n \frac{n!}{(2n-1)!!\sqrt{\pi}}x^{n-1/2}$$

en 4 he usado que $\Gamma (1/2) = \sqrt{\pi}$ y si n natural $\Gamma (n +1/2) = (n-1/2) \Gamma(n-1/2) = \frac{2n-1}{2} \frac{2n-3}{2} \Gamma ( n-3/2) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}$

[pod]

Re: derivada de orden k de la funcion zeta de Riemann

Pero eso no es una derivada con el significado de derivada, es una extensión analítica del factorial... anda que...

[eljose]

Re: derivada de orden k de la funcion zeta de Riemann

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_derivative

no seas tan estrecho de miras Pod a qui tienes la explicacion posible de lo que es 'la derivada fraccional' o que significa

[Dj_jara]

Re: derivada de orden k de la funcion zeta de Riemann

Pero eso no es una derivada con el significado de derivada, es una extensión analítica del factorial... anda que...

Bueno sería para darle una colleja a quien le puso ese nombre, pero parece ser que tiene aplicación