Otras carreras Duda en una integral; integración por partes

[R_Carlos]

Hola amigos, bueno, me estoy iniciando en este mundo de la integración, y estoy aprendiendo a integrar por partes, pero me cuesta trabajo saber cual es mi "u" y cual mi "dv", (según más o menos sé, mi "dv" va a ser la función que es más "fácil" integrar) es el problema que sufro en esta integral.



De antemano gracias.

[alespa07]

Re: Duda en una integral; integración por partes

En muchos casos tu dv será la más facil de integrar, como bien has dicho, pero no siempre será así. Yo creo que lo mejor es ganar intuición haciendo muchas integrales. Algunas veces se ha de intuir que es lo mejor, por ejemplo si tienes un polinomio de grado n multiplicado por una exponencial, las dos funciones (polinomicas y exponenciales) son faciles de integrar y derivar pero se elige derivar el polinomio para que la integral resultante lleve un polinomio de grado n-1 multiplicado por la exponencial. Entonces pedes ver que la integración por partes de va a reducir el grado del polinomio y si iteras el proceso n veces solo te quedara una integral de una exponencial que es trivial. En otros casos (sobretodo con funciones trigonometricas) hay que integrar por partes dos veces para volver a encontrar la misma integral y manejar la ecuacion para aislar tu integral,otras veces permite establecer relaciones de recurrencia.... Como puedes ver es cuestión de hacer unas cuantas y desarrollar un sexto sentido a pesar de que el proceso de integracion por partes es bastante mecánico. Si tienes una duda en concreto o un ejemplo que quieres comentar para que te digamos cual es la mejor opción, no lo dudes: pregunta y te ayudaremos.

[rruisan]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Te lo voy a tratar de eplicar!

[rruisan]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Se basa en la ecuacion de la derivada de un producto de dos funciones:

$d(uv)=udv + vdu$

integrando ambos miembros resulta:

$uv=\int u dv + \int v du$

se despeja la primera de las dos integrales:

$uv - \int v du= \int u dv$

Se obtiene la ecuancion de integracion por partes

$\int u dv=uv - \int v du$


Se usa para integrar gran numero de integrales no inmediatas que se plantean como productos de funciones algebraicas, producto de funciones logaritmicas y productos de funciones trigonometricas inversas.

Para que te des cuenta de como se hace esto te lo voy a dar con un ejemplo cualquier duda pregunta!

Integra

$\int x\cos x dx$

Se descompone el integrando en dos factores:

u y v

De la expresion del integrando que se iguala a u, se calcula su difefencial:

$u=x$

$du=dx$

La funcion, en apariencia, mas complicada y que contiene a dx se iguala a dv:

$dv=\cos x dx$

Para obtener el valor de v se integra la expresion que se igualo a dv:

$v=\int \cos x dx$

$v=\sin x$

La expresion del integrando que se iguala a dv debe ser facilmente integrable.

Los valores obtenidos de u, du y de v, se sustituyen en la ecuacion, para proceder a integrar.

$\int u dv=uv - \int v du$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Integramos:

$=x \sin x -(-cos x) + C$

$= x \sin x + \cos x + C$

Ojala te haya quedado claro, sino pregunta!

[rruisan]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Busca en algunos libros ejercicios para que practiques!

[R_Carlos]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Bueno, lo volví a intentar en base a lo que habían mencionado, y me quedo así:



Por cierto, ¿que opinan de la 4?
Gracias.

[Metaleer]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Un truco que suele ir bien es la mnemotecnia ALPES: Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/cosenos.

Si tienes un producto de funciones como integrando, donde los factores son funciones de estos tipos, se intenta coger como $u$ lo que aparece primero en la lista. Por ejemplo, imagina que tienes que integrar $e^x x^2$. Aquí tienes un producto donde por un lado tienes un polinomio, y luego una exponencial. En la lista aparece primero polinomios, así que

$u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx$
$dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$

y con esto, vuelves a aplicar la misma regla a la integral que queda.

Una forma de saber si has integrado bien una funcion es derivar el resultado: te debe salir el integrando,

Saludos.

[alespa07]

Re: Duda en una integral; integración por partes

la 4 esta bien.El único consejo que te puedo dar es factorizar al máximo tu resultado para que quede más "bonito" y quitar los parentesis que no sean necesarios. Sobretodo si necesitas usar el resultado en otro apartado. Será más facil manejar la expresión senx(x^2-2)+2xcosx +C .

[R_Carlos]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Muchas gracias por lo de ALPES, bueno, tengo otras dudas en estas integrales:



De acuerdo con ALPES (integral 9) esa sería mi "u" y mi "dv", pero, ¿como puedo determinar la integral de cos (3x)? Ese es otro de mis grandes dolores de cabeza.

En la integral 10, donde hay una fracción, ¿cuál es mi "u" y cuál mi dv"? Lo que quiero saber es como determinarlas en integrales de fracciones.

Por cierto, ¿cómo le hacen para escribir ecuaciones al comentar? Para que no ande escaneando a cada rato mi libreta. De antemano gracias.

Se me olvidaba, supongamos que en una integral mi "dv" fuera e^-3x, ¿cuál es "v"?, esa es una de las cuestiones que me atoran mucho. Gracias.

[alespa07]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Veamos, respecto a tu primera y a tu última pregunta hay una fórmula facil de recordar que puedes usar:

$\int f(ax) \mathrm{d}x=\frac{1}{a}F(ax)$ si $F(x)=\int f(x) \mathrm{d}x$

Esta fórmula es fácil de demostrar haciendo el cambio de variable $u=ax \Rightarrow \mathrm{d}u=a\mathrm{d}x$.(si no lo entiendes pregunta!)

Entonces para $\cos x$ la integal es $\sin x$ de donde

$a=3 , F(x)=\sin x \Rightarrow \int \cos 3x \mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sin 3x$

Y haces lo mismo para $\mathrm{e}^{-3x}$.

Para tu integral 9 te recomiendo que la llames I ya que con las funciones trigonometricas las integraciones por partes suelen ser cíclicas. Es decir que al integrar por primera vez te saldra una integral igual pero con seno en vez de coseno (que puedes llamar J) que tendras que integrar por partes una segunda vez para recuperar tu integral de partida I. Al final te quedará una ecuación en I que puedes resolver facilmente. Eso si, cuidado con los coeficientes ya que uno suele liarse cuando va demasiado de prisa.

En cuanto a tu integral 10 ¿estas seguro de que tienes que integrar por partes? ¿que quieres decir con determinarlas en integrales de fracciones?

Para escribir fórmulas en el foro tienes que usar Latex, es un poco dificil al principio pero si practicas te iras acostumbrando. Aquí te dejo el enlace de esta web que explica lo que es y como funciona: http://www.lawebdefisica.com/latex/

[R_Carlos]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Si, en la integral 10 tengo que integrar por partes, pero lo que quiero saber es ¿cómo la integro? ¿cuál es mi "u" y mi "dv"?, eso es lo que quise decir en mi segunda duda. Gracias y gracias también por la derivada del cos 3x, me va a ayudar mucho.

[alespa07]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Si, en la integral 10 tengo que integrar por partes, pero lo que quiero saber es ¿cómo la integro? ¿cuál es mi "u" y mi "dv"?, eso es lo que quise decir en mi segunda duda. Gracias y gracias también por la derivada del cos 3x, me va a ayudar mucho.

Bueno, he estado probando de integrar por partes directamente esta integral pero me temo de que no se puede hacer (o no lo veo) así como así. Creo que primero tendrías que arreglar un poco la integral. Para ello debes desorrollar en fracciones simples la fraccion racional:

$\frac{x}{(x+1)^2}$

O lo que es más directo, fijarte en que:

$\frac{x}{(x+1)^2}=\frac{x+1-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}$

Entonces te quedan dos integrales:

$\int \frac{x\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)}\mathrm{d}x-\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x$

Pero la integral $\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)}\mathrm{d}x$ no tiene resultado en funciones elementales ( que yo sepa, que avise alguien si me equivoco!!). Ahí es cuando vamos a procurar integrar por partes la segunda integral . Te dejo que lo intentes ( te doy una pista piensa que para escoger u y dv debes procuar que te salga la misma integral que la que no sabemos calcular). El resultado que tienes que conseguir es

$\int \frac{x\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)}$

Si te quedas atascado pregunta y te explicaré como se llega al resultado aunque creo que lo puees hacer solo. Espero haberte ayudado y si alguien sabe una forma de hacerlo directamente que lo diga!! Yo no lo veo

[R_Carlos]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Muchas gracias por la ayuda, pero no encuentro la forma de empezar a integrar, ¿me podrías ayudar?. De antemano muchas gracias.

[alespa07]

Re: Duda en una integral; integración por partes

Bueno, he estado probando de integrar por partes directamente esta integral pero me temo de que no se puede hacer (o no lo veo) así como así. Creo que primero tendrías que arreglar un poco la integral. Para ello debes desorrollar en fracciones simples la fraccion racional:

$\frac{x}{(x+1)^2}$

O lo que es más directo, fijarte en que:

$\frac{x}{(x+1)^2}=\frac{x+1-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}$

Entonces te quedan dos integrales:

$\int \frac{x\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)}\mathrm{d}x-\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x$

Pero la integral $\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)}\mathrm{d}x$ no tiene resultado en funciones elementales ( que yo sepa, que avise alguien si me equivoco!!). Ahí es cuando vamos a procurar integrar por partes la segunda integral . Te dejo que lo intentes ( te doy una pista piensa que para escoger u y dv debes procuar que te salga la misma integral que la que no sabemos calcular). El resultado que tienes que conseguir es

$\int \frac{x\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)}$

Si te quedas atascado pregunta y te explicaré como se llega al resultado aunque creo que lo puees hacer solo. Espero haberte ayudado y si alguien sabe una forma de hacerlo directamente que lo diga!! Yo no lo veo

Se trata de integrar por partes la segunda integral. Tienes que fijarte en que si escoges

$\mathrm{d}v=\frac{1}{(x+1)^2}$ entonces $v=\frac{-1}{(x+1)}$

y obviamente $u=\mathrm{e}^x$ te da que $\mathrm{d}u=\mathrm{e}^x$

Entonces ya puedes integrar por partes quedando:

$\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x=\frac{-\mathrm{e}^x}{(x+1)}+\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)}\mathrm{d}x$

Finalmente sustituyes este resultado en la ecuación:

$\int \frac{x\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)}\mathrm{d}x-\int \frac{\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x$

Y obtienes el resultado ya que se te cancela la integral que no sabemos calcular.

[R_Carlos]

Re: Duda en una integral; integración por partes

¡Gracias!