1r ciclo demostrar identidad

[BigMess]

Hola, se me plantea el problema de demostrar la siguiente identidad. Supongo que tenga que aplicar los teoremas de stokes, gauss y green, que es lo que estoy dando ahora.

pero no lo veo claro

$\nabla\cdot (F \times G)=G(\nabla \times F)-F(\nabla \times G)$

Las x son productos vectoriales, no he sabido como ponerlo
EDIT: ya aprendí

¿Alguna ayuda?

Otra pequeña duda que he tendido este tema... si tengo una recta cualquiera, en la forma que sea, como la parametrizo (en funcion de un solo parametro t) para poder hacer la integral de linea sobre ella?

Un saludo

[alespa07]

Re: demostrar identidad

Hola, se me plantea el problema de demostrar la siguiente identidad. Supongo que tenga que aplicar los teoremas de stokes, gauss y green, que es lo que estoy dando ahora.

pero no lo veo claro

$)$

Las x son productos vectoriales, no he sabido como ponerlo

¿Alguna ayuda?

Otra pequeña duda que he tendido este tema... si tengo una recta cualquiera, en la forma que sea, como la parametrizo (en funcion de un solo parametro t) para poder hacer la integral de linea sobre ella?

Un saludo

Wenas. Respecto a tu primera duda, creo que no tiene nada que ver con los teoremas que enuncias ya que son teoremas para integrales y no para cálculo vectorial (quizás se pueda pero no lo veo). Yo creo que es sencillamente desarrollar (es un poco largo ) la divergencia del producto vectorial y reagrupar para llegar a lo que te piden. Eso sí, te recomiendo que, hasta que puedas, trabajes con determinates (el cálculo es igual de largo pero te queda más ordenado y entonces menos lioso..). Por ejemplo, para empezar tendrías que:



$\vec{\nabla}\cdot (F \times G)=\vec{\nabla} \cdot \left|\begin{matrix}\vec i & \vec j & \vec k \\ F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y &G_z\end{matrix}\right| =\frac{\partial}{\partial x}\left|\begin{matrix}F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{matrix}\right|-\frac{\partial}{\partial y} \left|\begin{matrix}F_x & F_z \\ G_x & G_z\end{matrix}\right|+\frac{\partial}{\partial z}\left|\begin{matrix}F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{matrix}\right|$


Te dejo que calcules lo demás.
Respecto a tu segunda pregunta una recta es una recta que es una camino especial, si dices que tiene cualquier forma es un camino cualquiera y no una recta ( supongo que te habrás equivocado al escribir). Para saber parametrizar lo mejor es la práctica (en mi opinión) entonces creo que es mejor que plantees un caso concreto que no te salga para que te ayudemos.
Saludos.

[Metaleer]

Re: demostrar identidad

En $\mathbb{R}^3$, puedes parametrizar una recta gracias a la forma vectorial:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto cualquiera de la recta, $(v_x, v_y, v_z)$ es un vector director cualquier de la recta y $t$ es el parámetro variable. De esta manera, una recta la puedes parametrizar como la siguiente función vectorial

$\displaystyle \Gamma \equiv \gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3$

$\gamma (t) = (x_0 + v_x t, y_0 + v_y t, z_0 + v_z t),$

con la $t$ variando en el intervalo adecuado, $t \in [t_1, t_2]$.

Por otra parte, $\mathbb{R}^2$, una recta se puede expresar como una función de $x$, $y = f(x) = \alpha x + \beta$, y si consideras que el parámetro es la variable $x$, entonces tienes que una parametrización viene dada por la función vectorial

$\displaystyle \Gamma \equiv \gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$

$\gamma (t) = (t, \alpha t + \beta),$

con la $t$ variando en el intervalo adecuado, $t \in [t_1, t_2]$.

Con todo ello, la integral de línea (con respecto a un campo vectorial $F$) viene dada por

$\displaystyle \int_{\Gamma} F \cdot d\gamma = \int_{t_1}^{t_2} F(\gamma(t)) \cdot \gamma ' (t) dt ,$

teniendo cuidado con la orientación.

Saludos.

[BigMess]

Re: demostrar identidad

La segunda parte ha quedado perfectamente clara (Gracias!)

En la primera todavía me quedan dudas. Me cuesta creer que no tenga que utilizar el teorema de la divergencia por ningún lado. además, al desarrollarlo todo, me queda que para que se cumpla la igualdad tiene que ser cierto que
$<br /> \frac{G_3 \delta F_1}{\delta y}+\frac{F_1 \delta G_3}{\delta y}=\frac{\delta (F_1G_3)}{\delta y}$

lo cual no se si es cierto...

¿Alguna ayuda?

un saludo y gracias a los que ya me contestaron

[Metaleer]

Re: demostrar identidad

Tenemos que demostrar que

$\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G}),$

donde [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Sabemos que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y por tanto

$\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \frac{\partial (F_y G_z - F_z G_y)}{\partial x} + \frac{\partial (F_z G_x - F_x G_z)}{\partial y} + \frac{\partial (F_x G_y - F_y G_x)}{\partial z}.$

Por otra parte

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y además

$\displaystyle \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = G_x \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) + G_y \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) + G_z \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right),$

$\displaystyle \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G}) = F_x \left(\frac{\partial G_z}{\partial y} - \frac{\partial G_y}{\partial z} \right) + F_y \left(\frac{\partial G_x}{\partial z} - \frac{\partial G_z}{\partial x} \right) + F_z \left(\frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y} \right).$

Si desarrollas ahora la expresión que hemos obtenido para la divergencia, por ejemplo, sabiendo que $\displaystyle \frac{\partial (F_y G_z)}{\partial x} = \frac{\partial (F_y)}{\partial x} G_z + \frac{\partial (G_z)}{\partial x}F_y$, y aplicando lo mismo a todos los sumandos que aparecen ahí, y luego haces $\displaystyle \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})$, deberías ver que coinciden, si no me equivoco.

Saludos.

[ofiuco]

Re: demostrar identidad

Bueno he llegado un pelin tarde, pero confirmo que el resultado sale. Hay que armerse de un poco de paciencia y desarrollar los calculos.