Maximos y mínimos de una función

[[Beto]]

Para estrenar esta sección quisiera plantear la siguiente cuestión:

Suponiendo que tengo una función de dos variables $f=f(x,y)$ y una determinada región $S$ cerrada en $\mathbb{R}^2$ ¿qué método deberia seguir para encontrar los maximos y minimos absolutos de la función en dicha región?

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Re: Maximos y mínimos de una función

Para estrenar esta sección quisiera plantear la siguiente cuestión:

Suponiendo que tengo una función de dos variables $f=f(x,y)$ y una determinada región $S$ cerrada en $\mathbb{R}^2$ ¿qué método deberia seguir para encontrar los maximos y minimos absolutos de la función en dicha región?

Busca todos los máximos/minimos relativos, y busca cual es el mayor/menor (esto funciona sólo si la función está acotada, claro, si no lo está, no hay máximo/mínimo absoluto).

El máximo/mínimo puede o bien estar en el interior de $S$ o en su frontera (que llamamos $\partial S$). Los máximos/mínimos en el interior de $S$ se encuentran como solución de:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \ .$

Esto te dará varios candidatos. Comprueba el valor de la función para cada candidato, para ver cual es el mayor/menor de todos.

Esto puede no darte los máximos o mínimos en la frontera. Para ver los que pueda haber ahí, debes usar el método de multiplicadores de lagrange. Por ejemplo, imagínate que la condición que define la frontera es $g(x,y) = 0$, deberás utilizar la siguiente función de lagrange,

$L(x,y) = f(x,y) - \lambda g(x,y) \ .$

Hay otra posibilidad aún más bizarra, imagínate que la frontera esté definida por partes. En este caso, debes hacer multiplicadores de lagrange para cada una de las condiciones. Pero esto no funcionará en los puntos de unión de cada parte de la frontera. Deberás comprobar el valor en ese punto.


Ejemplo

Imaginemos, por ejemplo, la función $f(x,y)$, en el interior del segmento circular comprendido entre la circunferencia unidad y los ejes coordenados. La frontera tiene tres segmentos, definidos por las condiciones:

I) $x^2 + y^2 = 1$, para 0 $\le x, y \le 1$,

II) $x = 0$,

III) $y = 0$.

Tendemos los siguientes candidatos:

1) Todas las soluciones de las ecuaciones resultantes de igualar las derivadas parciales a cero.

2) Tres multiplicadores de lagrange:

$L_1(x,y) = f(x,y) - \lambda_1 \big( x^2 + y^2 - 1 \big) \ ,$
$L_2(x,y) = f(x,y) - \lambda_2 x \ ,$
$L_3(x,y) = f(x,y) - \lambda_3 y \ .$

3) Los puntos singulares de la frontera, $f(0,0)$, $f(0,1)$ y $f(1,0)$.

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Re: Maximos y mínimos de una función

Gracias por la respuesta

[alefriz]

Re: Maximos y mínimos de una función

Para estrenar esta sección quisiera plantear la siguiente cuestión:

Suponiendo que tengo una función de dos variables $f=f(x,y)$ y una determinada región $S$ cerrada en $\mathbb{R}^2$ ¿qué método deberia seguir para encontrar los maximos y minimos absolutos de la función en dicha región?

Los extremos relativos de una función de 2 o más variables vienen determinados por el Hessiano.

Para el caso de dos variables $f=f(x,y)$, los posibles puntos donde puede haber extremos relativos son en los que las primeras derivadas se anulan, es decir:

$\frac{\partial f}{\partial x} \equiv f_x = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} \equiv f_y = 0$

De este sistema de dos ecuaciones sacariamos los posibles puntos candidatos a ser máximos o mínimos.

Ahora calcularemos el determinante Hessiano en cada uno de los puntos anteriores:

$H(x,y) = <br /> \left|<br /> \begin{array}{cccc}<br /> f_{xx} & f_{xy} \\<br /> f_{yx} & f_{yy}<br /> \end{array}<br /> \right|$, siendo: $f_{xx} \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \hspace{10mm} f_{xy} \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \hspace{10mm} f_{yx} \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \hspace{10mm} f_{yy} \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$.

Al sustituir los puntos candidatos $(x_o, y_o)$, se resuelve el determinante y tenemos los siguientes casos:

1) $H(x_o, y_o) > 0, \hspace{10mm} f_{xx}(x_o, y_o) > 0 \rightarrow$ MINIMO.
2) $H(x_o, y_o) > 0, \hspace{10mm} f_{xx}(x_o, y_o) < 0 \rightarrow$ MAXIMO.
3) $H(x_o, y_o) < 0 \rightarrow$ PUNTO DE SILLA (punto en el que la función en una dirección crece, y en otra decrece).
4) $H(x_o, y_o) = 0 \rightarrow$Hay que estudiar directamente la ecuación (estudiar monotonía, etc...)