Divulgación Demostración del volumen de la esfera

[Ulises7]

Bueno ayer estaba repasando por mi cuenta un poco de geometria euclidea y queria demostrar el volumen de una esfera que se sabe que es:

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Lo máximo que llegue a conseguir fue una ligera aproximación y es la siguiente, tenemos la esfera inscrita en un cubo de lado $2r$ donde $r$ es el radio, entonces el volumen seria el área del círculo multiplicado por el lado del cubo:

$V \approx \pi r^2 \cdot 2r$

$V \approx 2 \pi r^3$

En el dibujo se observa claramente que el volumen real de la esfera es menor:

$V < 2 \pi r^3$

Bueno hoy estuve buscando la demostración exacta y la encontré aqui:

http://gaussianos.com/el-volumen-de-la-esfera/

Sencillamente genial, también se puede observar que el volumen de la esfera es la integral del área de esta:

$A = 4 \pi r^2$

$V = \displaystyle \int 4 \pi r^2 dr = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

pero debo reconocer que no acabo de comprender por qué, si alguien fuera tan amable de explicarmelo... y ¿alguien conoce otra demostración?


saludos

[Sartie]

Re: Demostración del volumen de la esfera

Bueno ayer estaba repasando por mi cuenta un poco de geometria euclidea y queria demostrar el volumen de una esfera que se sabe que es:

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Lo máximo que llegue a conseguir fue una ligera aproximación y es la siguiente, tenemos la esfera inscrita en un cubo de lado $2r$ donde $r$ es el radio, entonces el volumen seria el área del círculo multiplicado por el lado del cubo:

$V \approx \pi r^2 \cdot 2r$

$V \approx 2 \pi r^3$

En el dibujo se observa claramente que el volumen real de la esfera es menor:

$V < 2 \pi r^3$

Bueno hoy estuve buscando la demostración exacta y la encontré aqui:

http://gaussianos.com/el-volumen-de-la-esfera/

Sencillamente genial, también se puede observar que el volumen de la esfera es la integral del área de esta:

$A = 4 \pi r^2$

$V = \displaystyle \int 4 \pi r^2 = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

pero debo reconocer que no acabo de comprender por qué, si alguien fuera tan amable de explicarmelo... y ¿alguien conoce otra demostración?


saludos

porque lo que haces al calcular el volumen es sumar diferenciales de area, es decir, haces una integral de todas las areas comprendidas en el interior del volumen

[Ulises7]

Re: Demostración del volumen de la esfera

porque lo que haces al calcular el volumen es sumar diferenciales de area, es decir, haces una integral de todas las areas comprendidas en el interior del volumen

Es lo que había pensado pero he visto que no se cumple en todos los casos, en otras figuras, por ejemplo:

El área de un cubo es:

$A = 6l^2$

y segun lo expuesto anteriormente:

$V = \displaystyle \int 6l^2 dl = 2l^3$ ( resultado que no es cierto
ya que el volumen de un cubo es $V = l^3$ )

Para que sea correcto tendria que ser $V = \displaystyle \int 3l^2 dl = l^3$ , ¿se me entiende Sartie?


saludos

[Sartie]

Re: Demostración del volumen de la esfera

Es lo que había pensado pero he visto que no se cumple en todos los casos, en otras figuras, por ejemplo:

El área de un cubo es:

$A = 6l^2$

y segun lo expuesto anteriormente:

$V = \displaystyle \int 6l^2 = 2l^3$ ( resultado que no es cierto
ya que el volumen de un cubo es $V = l^3$ )

Para que sea correcto tendria que ser $V = \displaystyle \int 3l^2 = l^3$ , ¿se me entiende Sartie?


saludos

no claro, porque lo que haces con un cubo es sumar cuadrados. Son como rodajas de area L^2 asi cuando sumas todas te queda L^3. Siempre debes buscar la "rebanada elemental" (menudo palabrejo me acabo de inventar) para asi meterlo en la integral.

[Ulises7]

Re: Demostración del volumen de la esfera

no claro, porque lo que haces con un cubo es sumar cuadrados. Son como rodajas de area L^2 asi cuando sumas todas te queda L^3. Siempre debes buscar la "rebanada elemental" (menudo palabrejo me acabo de inventar) para asi meterlo en la integral.

Ya es lo que supuse porque no había otra explicación y la idea que se me ocurrió era que habia que coger las 3 caras que con la suma de ellas darán el volumen, si cogemos las 6 pues nos da el doble, pero tampoco tengo muy claro como buscar lo que tu llamas 'rebanada elemental' .

[Sartie]

Re: Demostración del volumen de la esfera

Ya es lo que supuse porque no había otra explicación y la idea que se me ocurrió era que habia que coger las 3 caras que con la suma de ellas darán el volumen, si cogemos las 6 pues nos da el doble, pero tampoco tengo muy claro como buscar lo que tu llamas 'rebanada elemental' .

piensa en un paquete de pan de molde. Su volumen total es la suma de las areas de cada rebanada, en un cubo es facil de ver, incluso en una esfera tambien o un cilindro, lo malo es si te metes en figuras mas complejas, entonces no es trivial.

[Ulises7]

Re: Demostración del volumen de la esfera

piensa en un paquete de pan de molde. Su volumen total es la suma de las areas de cada rebanada, en un cubo es facil de ver, incluso en una esfera tambien o un cilindro, lo malo es si te metes en figuras mas complejas, entonces no es trivial.

Dices que son fáciles de ver, sí lo es, pero no aun asi las operaciones ( por lo menos para mi ) cogemos el ejemplo que mencionas del cilindro, el área es:

$A = \pi r^2$

y el volumen real $V = \pi r^2 h$ donde suponemos que $h = r$ -> $V = \pi r^3$ pero:

$\displaystyle V = \int A (r) dr = \int \pi r^2 dr = \frac{1}{3}\pi r^3$ como vemos no es igual, $\displaystyle V \neq \int A (r) dr$ seria:

$\displaystyle V = \int 3 \pi r^2 dr = \pi r^3$ y ese 3 yo no lo veo nada claro en la imágen de buscar la 'rebanada' al cilindro... a esto me refiero .

Bueno el concepto lo entiendo, serian como trozos de los cuerpos que tienden a 0 ¿como en estos casos no?

[Sartie]

Re: Demostración del volumen de la esfera

Dices que son fáciles de ver, sí lo es, pero no aun asi las operaciones ( por lo menos para mi ) cogemos el ejemplo que mencionas del cilindro, el área es:

$A = \pi r^2$

y el volumen real $V = \pi r^2 h$ donde suponemos que $h = r$ -> $V = \pi r^3$ pero:

$\displaystyle V = \int A = \int \pi r^2 = \frac{1}{3}\pi r^3$ como vemos no es igual, $V \neq A$ seria:

$\displaystyle V = \int 3 \pi r^2 = \pi r^3$ y ese 3 yo no lo veo nada claro en la imágen de buscar la 'rebanada' al cilindro... a esto me refiero .

Bueno el concepto lo entiendo, serian como trozos de los cuerpos que tienden a 0 ¿como en estos casos no?

no es tan dificil, simplemente te estas liando. Claramente en un cilindro la rebanada es una circunferencia. Corta el cilindro en circunferencias cuyos centros esten en el eje del cilindro y tendras que el area de la circuenferencia es piR^2 y como hay h circunferencias pues el volumen es piR^2*h donde h es la altura del cilindro, el problema que has tenido al resolver la integral es que pones que lo que varia, los diferenciales que tomamos, son R pero no es R es h

[Sartie]

Re: Demostración del volumen de la esfera

Bueno el concepto lo entiendo, serian como trozos de los cuerpos que tienden a 0 ¿como en estos casos no?

en el cilindro esta bien, pero con la esfera no, hay que tomar pequeñas esferas que es mas facil de calcular. Siempre puedes coger la rebanada como mas te guste, pero lo mejor es cogerla de forma que sea facil de calcular

[Metaleer]

Re: Demostración del volumen de la esfera

Hombre, hay muchas demostraciones, pero que yo sepa, todas se salen del nivel de "Divulgación". Una demostración que no requiere el uso de integrales múltiples es coger un elemento diferencial de volumen en forma de cáscara (o concha) esférica; el volumen de cada una de estas cáscaras será el diferencial de radio $dr$ por el área de cada cáscara, $4 \pi r^2$, luego

$\displaystyle V = \int_0^R 4 \pi r^2 dr = \frac{4}{3} \pi R^3.$

Más métodos que estudiarás en la carrera para calcular volúmenes de cuerpos que se pueden obtener por revolución de una curva generatriz en torno a un eje son el método de discos y el método de los cilindros. Luego tienes el método de secciones, que viene detallado aquí. Los demás métodos que conozco ya son con integrales dobles y triples.

Saludos.

[Juanma1976]

Re: Demostración del volumen de la esfera

Hola, aquí tienes la demostración que dió Arquimedes en el siglo III antes de la era cristiana

http://www.cienciafacil.com/paginaesfera.html

Bueno ayer estaba repasando por mi cuenta un poco de geometria euclidea y queria demostrar el volumen de una esfera que se sabe que es:

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Lo máximo que llegue a conseguir fue una ligera aproximación y es la siguiente, tenemos la esfera inscrita en un cubo de lado $2r$ donde $r$ es el radio, entonces el volumen seria el área del círculo multiplicado por el lado del cubo:

$V \approx \pi r^2 \cdot 2r$

$V \approx 2 \pi r^3$

En el dibujo se observa claramente que el volumen real de la esfera es menor:

$V < 2 \pi r^3$

Bueno hoy estuve buscando la demostración exacta y la encontré aqui:

http://gaussianos.com/el-volumen-de-la-esfera/

Sencillamente genial, también se puede observar que el volumen de la esfera es la integral del área de esta:

$A = 4 \pi r^2$

$V = \displaystyle \int 4 \pi r^2 = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

pero debo reconocer que no acabo de comprender por qué, si alguien fuera tan amable de explicarmelo... y ¿alguien conoce otra demostración?


saludos

[pod]

Re: Demostración del volumen de la esfera

No eres el único al que le gusta jugar con esferas.

[Ulises7]

Re: Demostración del volumen de la esfera

en el cilindro esta bien, pero con la esfera no, hay que tomar pequeñas esferas que es mas facil de calcular. Siempre puedes coger la rebanada como mas te guste, pero lo mejor es cogerla de forma que sea facil de calcular

mmm ¿entonces me puedes explicar la del cilindro? porque sigo sin ver el 3...

Hombre, hay muchas demostraciones, pero que yo sepa, todas se salen del nivel de "Divulgación". Una demostración que no requiere el uso de integrales múltiples es coger un elemento diferencial de volumen en forma de cáscara (o concha) esférica; el volumen de cada una de estas cáscaras será el diferencial de radio $dr$ por el área de cada cáscara, $4 \pi r^2$, luego

$\displaystyle V = \int_0^R 4 \pi r^2 dr = \frac{4}{3} \pi R^3.$

Más métodos que estudiarás en la carrera para calcular volúmenes de cuerpos que se pueden obtener por revolución de una curva generatriz en torno a un eje son el método de discos y el método de los cilindros. Luego tienes el método de secciones, que viene detallado aquí. Los demás métodos que conozco ya son con integrales dobles y triples.

Saludos.

Bueno si es necesario quito eso de divulgación , aunque no tengo ni idea de como se hacen las integrales dobles y triples... el otro dia me inventé un par muy sencillitas y las realice teniendo en cuenta que era el mismo procedimiento de la derivada de la derivada pero al revés, aun asi no sé si es 100% correcto...

Hola, aquí tienes la demostración que dió Arquimedes en el siglo III antes de la era cristiana

http://www.cienciafacil.com/paginaesfera.html

Gracias por el enlace pero si te fijas ya puse el comienzo uno que es un blog donde está realizado el artículo apartir de los apuntes de ciencia fácil, por tanto ya lo habia visto .

No eres el único al que le gusta jugar con esferas.

jeje ya lo había 'ojeado' hacia tiempo pero no lo entendi muy bien , a ver si ahora lo entiendo más . En ese sentido creo que nos parecemos nos gusta jugar con esferas ...

[Sartie]

Re: Demostración del volumen de la esfera

mmm ¿entonces me puedes explicar la del cilindro? porque sigo sin ver el 3...

no se usar el latex asi que espero que me entiendas:

Tenemos un cilindro de radio R y altura h, para calcular su volumen divido en cilindro es pequeñas circunferencias, cuyos centros se situan sobre el eje del cilindro. Esto es, corto el cilindro en diferenciales de volumen (de radio R y altura dh), haciendo el corte perpendicular al eje del cilindro.

Asi pues tengo N diferenciales de volumen, donde N=h/dh. Si hay tender dh a cero infinitesimalmente, entonces N tiende a infinito y los diferenciales de volumen de las rebanadas tienden a cero.

Asi que tengo el cilindro formado por infinitas rebanadas de area A=pi*R^2

si ahora integro (es decir sumo) todas mis rebanadas en la direccion del eje tenemos pues h rebanadas de area pi*R^2:

V=(Integral de x desde 0 hasta h de) pi*R^2dx=pi*R^2*h

[Ulises7]

Re: Demostración del volumen de la esfera

no se usar el latex asi que espero que me entiendas:

Tenemos un cilindro de radio R y altura h, para calcular su volumen divido en cilindro es pequeñas circunferencias, cuyos centros se situan sobre el eje del cilindro. Esto es, corto el cilindro en diferenciales de volumen (de radio R y altura dh), haciendo el corte perpendicular al eje del cilindro.

Asi pues tengo N diferenciales de volumen, donde N=h/dh. Si hay tender dh a cero infinitesimalmente, entonces N tiende a infinito y los diferenciales de volumen de las rebanadas tienden a cero.

Asi que tengo el cilindro formado por infinitas rebanadas de area A=pi*R^2

si ahora integro (es decir sumo) todas mis rebanadas en la direccion del eje tenemos pues h rebanadas de area pi*R^2:

V=(Integral de x desde 0 hasta h de) pi*R^2dx=pi*R^2*h

Estas diciendo que R es una constante como $\pi$ ? o ¿no seria diferencial de h? en lugar de dx

saludos