1r ciclo Sumatoria

[arreldepi]

Hola,
Hoy nos han enseñado el principio de inducción y nos han hecho practicar, unas de las demostraciones que piden, es con sumatorias y esta me da problemas al final:

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac n6$

Entonces,
1. He comprobado que es cierta para n=1 (también para n=2 y n=3, por si acaso).

2. He supuesto que es cierta hasta un determinado $n$.

3. Compruebo para $n+1$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2 + (n+1)^2 = \dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac n6 + (n+1)^2$

Entonces, me olvido de la parte derecha de la igualdad y opero con la parte izquierda, y no hay manera de llegar al:

$\dfrac{(n+1)^3}{3}+\dfrac{(n+1)^2}{2}+\dfrac{n+1}{6}$

Yo lo que hago es desarrollar el binomio y hacer la suma, luego, descompongo el 6 que me queda en 2+2+2 para que cada uno acompañe a una n, pero el resultado no se parece en nada.

Tengo la solución en un librito pero no entiendo el procedimiento que siguen ellos, os lo indico a ver si alguien me explica qué hacen:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2 + (n+1)^2 = \dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac n6 + (n+1)^2 = \dfrac{n^3}{3}+ \dfrac{3n^2}{3}+ \dfrac{3n}{3}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{n^2}{2}+ \dfrac{2n}{2}+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{n}{6}+ \dfrac{1}{6} =\dfrac{(n+1)^3}{3}+\dfrac{(n+1)^2}{2}+\dfrac{n+1}{6}$

No entiendo cómo descomponen las fracciones para obtener ésas, y cómo las reordenan luego para obtener el resultado final.


Muchas Gracias!

[Afisionado]

Re: Sumatoria

Sale todo de $(n+1)^2$

$n^2+2n+1 =$
$\frac{3n^2}{3} + n + n + \frac {6}{6}=$
$\frac{3n^2}{3} + \frac {3n}{3} + \frac{2n}{2} + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \frac {1}{6}=$

etc.

[arreldepi]

Re: Sumatoria

Sale todo de $(n+1)^2$

$n^2+2n+1 =$
$\frac{3n^2}{3} + n + n + \frac {6}{6}=$
$\frac{3n^2}{3} + \frac {3n}{3} + \frac{2n}{2} + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \frac {1}{6}=$

etc.

Muchas gracias! Creo que no hubiese dormido bien esta noche, jeje.

[ser humano]

Re: Sumatoria

bueno, yo lo haria de la siguiente manera:

empiezo por esta expresion, para luego desarrollarla para notar a que es equivalente:
$\sum_{k=1}^{n+1} k^2$ (notar que este es el primer termino de lo que se quiere probar)

continuando:
$\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_k=1^n k^2 + (n+1)^2$ por definicion de sumatoria.

como $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac {n^3} 3 + \frac {n^2} 2 + \frac n 6$, por hipotesis inductiva, la expresion nos quedaria:

$\sum_{k=1}^{n+1} k^2 =\frac {n^3} 3 + \frac {n^2} 2 + \frac n 6 + (n+1)^2$

desarrollando toda esta expresion nos termina quedando

$\sum_{k=1}^{n+1} k^2= \frac {2n^3 + 9n^2 + 13n + 6} 6$ (1)

bueno, aca hagamos un apartado.

veamos que es lo que queremos que nos quede:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

desarrollemos cada uno de estos terminos por separado (a escepcion del ultimo que ya esta desarrollado):
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

bueno, ahora ya con esto podemos volver a (1), y organizar lasz cosas de manera tal que nos quede evidente que podemos expresr estos terminos de la forma que nos lo demanda el enunciado:

$\sum_{k=1}^{n+1} k^2= \frac {2n^3 + 6n^2 + 3n^2 + +6n + 6n + n + 2 +3 +1} 6$

reorganizando:
$\sum_{k=1}^{n+1} k^2=\frac { 2n^3 + 6n^2 + 6n+ 2 +3n^2 +6n + 3 +n + 1} 6$

y por lo ya expuesto podemos escribirlo como

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que es a lo que queriamos llegar

[ser humano]

Re: Sumatoria

parece que tarde mucho

[arreldepi]

Re: Sumatoria

parece que tarde mucho

No te preocupes, muchas gracias igualmente! Así aprendoo un nuevo método, no se me hubiese ocurrido probar de desarrollarlo al revés!

Por cierto, en las dos últimas operaciones, cuando sumas todo, creo que te has dejado algún 6n por el camino!


Gracias!

[ser humano]

Re: Sumatoria

ya lo arregle

[Afisionado]

Re: Sumatoria

Muchas gracias! Creo que no hubiese dormido bien esta noche, jeje.

Yo también ando a vueltas con la inducción. Creo que Análisis matemático va a ser duro.

[arreldepi]

Re: Sumatoria

Yo también ando a vueltas con la inducción. Creo que Análisis matemático va a ser duro.

Pues sí, jaja. Qué estás estudiando?

[Afisionado]

Re: Sumatoria

Pues sí, jaja. Qué estás estudiando?

Tras un tiempo sin estudiar nada, empiezo físicas en la UNED este año. Una pequeña locura

[arreldepi]

Re: Sumatoria

Tras un tiempo sin estudiar nada, empiezo físicas en la UNED este año. Una pequeña locura

Mucha Suerte!

[pod]

Re: Sumatoria

Un detallito, que en el examen te lo podrían poner mal si son quisquillosos.

H

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2 + (n+1)^2 = \dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac n6 + (n+1)^2$

Aquí el término k = n+1 lo tienes duplicado. Tienes que escribir lo siguiente:

$$\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2\ .$$

Seguro que será un despiste o algo por el estilo, pero puede confundirte a ti o al que corrige el examen (y eso nunca es bueno).