1r ciclo Operador Nabla

[Diamond]

Hola!

Ya llevo una semanita en la facultad y la cosa está empezando a ir en serio. En métodos matemáticos y en informática no tengo problemas, pues los profesores son buenos explicando. Pero en cambio, en Física General me ha tocado un abuelete que se dedica a leer los escuetos apuntes que pone en la web y punto. No explica. No aclara dudas... Yo, supongo que por no haber dado antes esto, no sé muy bien como cojer el operador nabla y todo esto. Se mete la explicación en el gradiente de un escalar, que éste es perpendicular a las superficies de nivel (donde la magnitud se mantiene constante) de un campo escalar y mucha más pesca que no cojo bien... Si pudiéseis, brevemente y a grades rasgos explicarme un poco qué es dicho operador o para qué sirve, os lo agradecería muchísimo

Sin más, mi más grato saludo

[woodyalex]

Re: Operador Nabla

Bien el operador nabla no deja de ser una operación como podría ser una división o una suma, solo que de un nivel superior.Este operador es un operador de derivadas parciales cuya expresión es:

Donde las q´s son las coordenadas las h´slos factores de escala de dichas coordenadas y las u´s los vectores unitarios , escrta para cordenadas cartesianas(así lo ves más facil) sería:

Si te fijas en esta expresión veras que si la aplicas sobre un escalar (lo que se conoce como gradiente) te dará un vector, si la aplicas a un vector (lo que se conoce como divergencia) te dará un escalar (el operador nabla no deja de ser un vector y la multiplicación escalar de dos vectores es un escalar)
Este operador es muy util por que se la divergencia, el rotacional y el gradiente tienen una serie de propiedades que nos indican si el campo vectorial es conservativo, si tiene fuentes y sumideros, etc......al principio pede que te cueste un poco pero ya verás como pronto lo entiendes, ya que lo vas a utilizar en todo momento.

[KyAlOx]

Re: Operador Nabla

No te preocupes, el operador nabla es una herramienta que al inicio parece un poco extraña, pero verás cómo en nada te empiezan a hablar de ella en muchas asignaturas, y en alguna (Cálculo Diferencial o algo similar ) lo daréis en más profundidad. Y cuando veas los teoremas de Stokes y de la Divergencia, más xD Por el momento, basta con lo que te ha dicho Woodyalex; las demostraciones de lo que te ha dicho tu profesor las verás bien pronto ;-) además, yo estoy empezando a dar Electro este año (estoy en 2º xD) y no salen más que gradientes, divergencias y rotacionales por todos los lados xD

si la aplicas a un vector (lo que se conoce como divergencia) te dará un escalar (el operador nabla no deja de ser un vector y la multiplicación escalar de dos vectores es un escalar)

Hombre, eso no es del todo cierto. Como tú has dicho, puedes considerar a nabla como un vector, por lo cual puedes hacer el producto de este por otro vector; sin embargo, este producto puede ser escalar o vectorial. Efectivamente, aplicado escalarmente da un escalar, la divergencia; pero si lo aplicas vectorialmente te da un vector, el rotacional de dicho campo vectorial.

K.

[pod]

Re: Operador Nabla

No te preocupes demasiado por eso ahora; en mates te explicarán el significado y el por qué de todo lo que hagas ahora (te hartarás del nabla). Lamentablemente, no se puede esperar a haber hecho todas las mates para empezar a dar física, la carrera duraría más años.

Mientras tanto, aprende a hacer las operaciones necesarias para obtener los resultados. Intenta coger un poco de intuición sobre qué quiere decir cada cosa (como por ejemplo, "el gradiente es la dirección de máxima pendiente de una superfície; o es perpendicular a las superfícies de nivel); y cuando llegue la hora ya entenderás el porqué. Intentaré darte alguna pista para empezar.

Básicamente, cuando uno trata con funciones de una variable, f(x), derivar está muy claro, $f'(x) = \dd f / \dd x$. Pero, ¿como se generaliza esto si tengo más de una variable, f(x, y, z)? Pues nabla te da la generalización más completa. Derivas respecto cada una de las variables, y el resultado lo pones en una componente de un vector.

Supongo que sabrás que los reales se pueden representar como una recta. Por eso, el valor x de f(x) se representa como un eje (horizontal), y a cada punto de ese eje, le toca un valor y = f(x). Así es como se representan gráficamente las funciones. Pues si tenemos una función de dos variables, en vez de tener una recta tenemos un plano. Y a cada punto del plano le toca una altura, z = f(x, y). Esto es lo que define una superficie.

Si tenemos tres variables, entonces ponemos f(x, y, z). A cada punto del espacio, le corresponde un número. Lamentablemente, esta vez no tenemos forma de representarlo. Pero el concepto es el mismo.

En una variable, la derivada $\dd f / dd x$ significa "cuanto cambia la función cuando me muevo de x". Pues lo mismo, derivar f(x, y, z) debe medir cuanto cambia la función al moverme a otro punto del espacio. La pregunta es, ¿en qué dirección me muevo? En este caso tengo muchas posibilidades, tantas como direcciones hay, esto se llama derivada direccional. Recuerda que una dirección se representa por un vector unitario $\hat n$. Pues resulta que la derivada en una dirección se puede sacar como un producto escalar del gradiente,

$$\nabla_{\hat n} f = \hat n \cdot \vec\nabla f \ .$$

Recuerda que el producto escalar es máximo cuando los dos vectores son paralelos, por lo tanto $\vec\nabla f$ tiene la misma dirección hacia donde la función crece más rápido. Además, el producto escalar es cero cuando los vectores son perpendiculares. Por lo tanto, en la dirección perpendicular al gradiente la función es constante, ya que su derivada direccional en esa dirección es cero: el gradiente es perpendicular a las superficies donde la función es constante.

Hay justificaciones similares para las otras aplicaciones del vector nabla (divergencia, rotacional y laplaciano básicamente). Si las necesitas, puedo explicartelas. Pero creo que para empezar, con el gradiente ya tienes bastante.

[Diamond]

Re: Operador Nabla

Entonces, por lo que decís, el operador nabla es como si fuese una derivada, no? Es decir, tu derivas una f(x) y es f '(x), mientras que para una f(x,y,z) haces un gradiente (si la función es escalar) (x,y,z). De tal modo, el gradiente se utiliza para funciones con una variación de tres dimensiones, como sería por ejemplo un campo gravitatorio, ¿no? De tal modo, no entiendo por qué nabla es un operador vectorial (si es que se le llama así)... Si simplemente es una operación, ¿qué sentido tiene que posea dirección?

La pregunta es, ¿en qué dirección me muevo? En este caso tengo muchas posibilidades, tantas como direcciones hay, esto se llama derivada direccional. Recuerda que una dirección se representa por un vector unitario . Pues resulta que la derivada en una dirección se puede sacar como un producto escalar del gradiente,

Temo no entender esto... no veo que hayan tantas direcciones de un punto a otro... Siento si resulto algo ingenuo.

Muchas gracias por vuestra ayuda, de veras

[pod]

Re: Operador Nabla

Entonces, por lo que decís, el operador nabla es como si fuese una derivada, no? Es decir, tu derivas una f(x) y es f '(x), mientras que para una f(x,y,z) haces un gradiente (si la función es escalar) (x,y,z). De tal modo, el gradiente se utiliza para funciones con una variación de tres dimensiones, como sería por ejemplo un campo gravitatorio, ¿no?

En realidad, se puede usar en cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, en dos dimensiones $\vec\nabla = \partial_x \hat\imath + \partial_y \hat\jmath$, es decir, tantas componentes como dimensiones uno tenga.

De tal modo, no entiendo por qué nabla es un operador vectorial (si es que se le llama así)... Si simplemente es una operación, ¿qué sentido tiene que posea dirección?

En realidad, nabla en sí no tiene dirección. Tiene una dirección cuando lo aplicas sobre una función (y se convierte en un gradiente). Pero usar esta notación es muy convenite, ya que permite usar todas las propiedades de los vectores.

Temo no entender esto... no veo que hayan tantas direcciones de un punto a otro... Siento si resulto algo ingenuo.

Imagínate que estas de pie en la ladera de una montaña, y yo te digo que me midas la pendiente que tiene esa ladera. Y tú me preguntarás "¿la pendiente si me muevo hacia donde?". Por que es diferente; si te mueves en la dirección a la cima, la pendiente será positiva, si te mueves en dirección contraria será negativa, y si te mueves en dirección perpendicular será cero. Pues ese es un típico ejemplo de gradiente en dos dimensiones (por que te mueves en un plano).

[Diamond]

Re: Operador Nabla

Imagínate que estas de pie en la ladera de una montaña, y yo te digo que me midas la pendiente que tiene esa ladera. Y tú me preguntarás "¿la pendiente si me muevo hacia donde?". Por que es diferente; si te mueves en la dirección a la cima, la pendiente será positiva, si te mueves en dirección contraria será negativa, y si te mueves en dirección perpendicular será cero. Pues ese es un típico ejemplo de gradiente en dos dimensiones (por que te mueves en un plano).

La verdad es que con este ejemplo visual está algo más claro, muchas gracias
Un saludo y gracias a todos