1r ciclo ¿Me podéis explicar la Inducción Matemática?

[idontknow]

Buenas.

Llevo 1 mes sin ir a la uni porque estoy malo y entre las cosas que me he mirado y sigo sin pillar es la inducción matemática. Entiendo lo que pretende pero no como llevarlo a práctica cuando me encaro con ello. Sé que se ha de comprobar para n = 1 y si se cumple ver que pasa para n = n +1 a fin de afirmar lo que se dice pero a la hora de la verdad no me entero de nada. Por ejemplo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (bueno la k final de arriba del sumatorio es n pero no me salía la n)

¿Qué hago ahora? Es que he llegado a entender que tengo que sustituir primero n por 1 y k por 1. El problema está en que un amigo me lo ha intentado explicar y me ha liado aún más de lo que estaba. ¿El primer paso sería así o no? Es que con mi amigo he entendido que k en vez de 1 debería ser 1 + 2 + 3 + ... + n

¿Y el segundo paso cual es? Sustituyo k por 1 y n por n + 1? Es que esto haría que me diese una ecuación de segundo grado y llegados ahí ya sí que creo que me estoy inventado cosas....

¿Me podéis echar una mano?

[Fedenet]

Re: ¿Me podéis explicar la Inducción Matemática?

Recientemente pod creó esta entrada en su blog.

Espero que te sirva.

[arreldepi]

Re: ¿Me podéis explicar la Inducción Matemática?

Hola! Ostras, qué mala pata que hayas faltado este mes. Bueno, intenta recuperarte y poco a poco adaptarte de nuevo al ritmo de la uni, que aun hay mucho semestre por delante.

Como te decían, la última entrada en el blog de pod es muy útil para entender bien el teorema de inducción.

Para este que tienes que demostrar (no te sale bien con LATEX porque tienes una \ delante de la n:

$$\sum_{k=1}^{n} k= \frac{n(n+1)}{2}$$

.

1. Compruebas que es cierto para n = 1:

$$\underbrace{\sum_{k=1}^{1}k}_{=1}= \frac{1(1+1)}{2} = 1$$

2. Suponemos que es cierto para n (al suponer esto, implica que será cierto para cualquier n, lo pongo con interrogante porque aún no está demostrado):

$$\sum_{k=1}^{n} k= \frac{n(n+1)}{2} \overbrace{\Rightarrow}^{?}\sum_{k=1}^{n+1} k= \frac{(n+1)(\overbrace{(n+1)+1)}^{n+2}}{2}$$

3. Demuestras que es cierto para n+1. Para ello, puedes reescribir la sumatoria hasta n+1 de la siguiente manera:

$$\sum_{k=1}^{n} k + (n+1)= \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)$$

Ahora, tienes que realizar la segunda parte de la igualdad y comprobar que coincide con la hipótesis:

$$\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) = \frac{n^2+n+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

Por tanto, por el principio de inducción queda demostrado que la hipótesis se cumple para $\forall n\in \mathbb{Z}^+$


Ánimos y un saludo!

[idontknow]

Re: ¿Me podéis explicar la Inducción Matemática?

Juas.... creo que por fin Pod me iluminó... Ahora bien con el segundo ejemplo porque del primero no sé porqué le dio por multiplicarlo por 2... ya me miraré lo que le dijiste arreldepi en otro mensaje dedicado a ese problema que de momento bastante tengo con álgebra...

De verdad cosas así sólo podían salir de la cabeza de un matemático... que mareo.

En fin gracias a todos

[pod]

Re: ¿Me podéis explicar la Inducción Matemática?

Juas.... creo que por fin Pod me iluminó... Ahora bien con el segundo ejemplo porque del primero no sé porqué le dio por multiplicarlo por 2... ya me miraré lo que le dijiste arreldepi en otro mensaje dedicado a ese problema que de momento bastante tengo con álgebra...

De verdad cosas así sólo podían salir de la cabeza de un matemático... que mareo.

En fin gracias a todos

Por qué multiplicar por dos es lo que hace falta hacer a $2^n$ para convertirlo en $2^{n+1}$. Hay dos formas generales de proceder: partir de la hipótesis y manipularla hasta llegar a lo que se quiere demostrar (en este caso, las manipulaciones son multiplicar por 2 y hacer una cadena de igualdades); o bien partir de lo que se quiere demostrar y utilizar la hipótesis para simplificarlo (que es lo que se hace en este problema, o en el segundo problema).