1r ciclo Propiedad arquimediana

[Afisionado]

Solicito vuestra ayuda para una duda que me ha surgido al estudiar el texto básico de Análisis Matemático de la UNED. Al definir la propiedad arquimediana, dice textualmente:

Se dice que un cuerpo ordenado $\mathbb{K}$ es arquimediano cuando para cualquier $a \in \mathbb{K}$ existe un elemento natural $n \in \mathbb{K}$ tal que a < n

Sin embargo, al no entender lo que este enunciado quería decir, lo he consultado en otros libros y la definición que da en ellos me parece totalmente diferente. Por ejemplo, el Calculus de Apostol dice, como teorema previo, que el conjunto P de los números positivos no está acotado superiormente, y aunque como corolario añade

"Para cada real x existe un entero positivo n tal que n > x"

Pero a continuación incluye como definición de propiedad arquimediana lo siguiente

"Si x > 0 e y son números reales arbitrarios, existe un entero positivo n tal que nx > y por muy pequeño que sea x respecto a y"

He hecho la consulta en el foro del equipo docente y me contestan que ambas definiciones son equivalentes. Pero yo no acabo de verlo claro. ¿Podría alguien arrojar alguna luz sobre el tema?

Gracias por adelantado.

[Juanma1976]

Re: Propiedad arquimediana

Pista:

Tienes que probar la doble implicación, la primera definición implica la segunda y la segunda implica la primera.

Te ayudará considerar $a=\frac{y}{x}$ cuando sea conveniente .

Saludos.

Solicito vuestra ayuda para una duda que me ha surgido al estudiar el texto básico de Análisis Matemático de la UNED. Al definir la propiedad arquimediana, dice textualmente:



Sin embargo, al no entender lo que este enunciado quería decir, lo he consultado en otros libros y la definición que da en ellos me parece totalmente diferente. Por ejemplo, el Calculus de Apostol dice, como teorema previo, que el conjunto P de los números positivos no está acotado superiormente, y aunque como corolario añade



Pero a continuación incluye como definición de propiedad arquimediana lo siguiente



He hecho la consulta en el foro del equipo docente y me contestan que ambas definiciones son equivalentes. Pero yo no acabo de verlo claro. ¿Podría alguien arrojar alguna luz sobre el tema?

Gracias por adelantado.

[alespa07]

Re: Propiedad arquimediana

Solicito vuestra ayuda para una duda que me ha surgido al estudiar el texto básico de Análisis Matemático de la UNED. Al definir la propiedad arquimediana, dice textualmente:



Sin embargo, al no entender lo que este enunciado quería decir, lo he consultado en otros libros y la definición que da en ellos me parece totalmente diferente. Por ejemplo, el Calculus de Apostol dice, como teorema previo, que el conjunto P de los números positivos no está acotado superiormente, y aunque como corolario añade



Pero a continuación incluye como definición de propiedad arquimediana lo siguiente



He hecho la consulta en el foro del equipo docente y me contestan que ambas definiciones son equivalentes. Pero yo no acabo de verlo claro. ¿Podría alguien arrojar alguna luz sobre el tema?

Gracias por adelantado.

Hola. Efectivamente, las definiciones son equivalentes aunque el sentido que tienen es distinto. En efecto, la primera te dice que el conjunto de los enteros no está acotado y la segunda expresa el hecho de que cualquier segmento de $\mathbb{R}$ se puede recubrir ( verás más rigurosamente la noción de recubrimiento cuando hagas topología así que no te preocupes...) por un número finito de segmentos. En esencia, la propiedad arquimediana, en su sentido geométrico, está expresada por esta última definición. No obstante, ambas definiciones son "matematicamente" equivalentes por decirlo de alguna manera. Para demostrar una equivalencia, tiene que mostrar que se cumplen los dos sentidos de implicaciones. Por ejemplo, si llamamos $(1)$ tu primera definición y $(2)$ la segunda, tendremos que $(1)\Leftrightarrow(2)$ si se cumple que:

$(1)\Rightarrow(2)$ y $(2)\Rightarrow(1)$


Si estás cursando la primera asignatura de análisis, es un buen ejercicio demostrar por tu cuenta estas implicaciones, por muy sencillas que sean, porque te ayudarán a familiarizarte con el sistema lógico de las demostraciones. Intenta demostrar las dos implicaciones y cuéntanos quetál.


Saludos.

Disculpa Juanma, nos cruzamos!

[Afisionado]

Re: Propiedad arquimediana

Gracias a ambos, Juanma y Alespa. El análisis matemático y sus demostraciones son posiblmente lo que más me va a costar superar. Espero seguir contando con vustra ayuda.

Voy a intentar hacer la demostración con las pistas que me habéis dado: la doble implicación y la relación entre a, x e y. Ya os contaré.

Un saludo.

[Afisionado]

Re: Propiedad arquimediana

Como lo prometido es deuda, aquí os dejo la demostración que puse. Debe ser bastante mejorable, sólo puedo poner la excusa de que eran las doce de la noche y me había levantado a las siete de la mañana

Sean las siguientes definiciones, aparentemente diferentes, de la propiedad arquimediana.

Definición A: Se dice que el cuerpo ordenado K es arquimediano cuando para cualquier a € K
existe un elemento natural n € K tal que a < n.

Definición B: Se dice que el cuerpo ordenado K es arquimediano cuando para cualesquiera x>0
e y € K existe un elemento natural n € K tal que nx > y.

Demostraremos que son equivalentes en la doble implicación A => B y B => A.

A => B Supongamos que a € K es tal que a=y/x, x e y € K, y lo sustituimos en la definición A:
Definición A': Se dice que el cuerpo ordenado K es arquimediano cuando para cualquier x,y
€ K existe un elemento natural n € K tal que y/x < n. Operando se llega a la expresión B.

B => A Haciendo la misma sustitución a la inversa se llega de B a A.

El equipo docente me la dio como correcta con una sugerencia para mejorarla.

Es correcta. La implicación B---> A es más sencilla tomando x=1 en B.

Creo que tengo bastante que empollar en esta asignatura
Gracias de nuevo por vuestra ayuda.
Saludos.