1r ciclo Otro de inducción

[arreldepi]

Hola! Siento ser tan pesado, pero es que tengo otro problema con una demostración de inducción:

Se trata de demostrar lo siguiente:

$$2n-3\leq 2^{n-2}\;\;\;\; \forall n>a$$

Entonces:
Lo primero de todo es calcular cuál es el valor de $a$
Me sale que a partir de 5 todos serán mayores.

1. Comrpobar para n = 5

$$7\leq 8$$

2. Suponer cierto para n:

$$2n-3\leq 2^{n-2} \;\; \overbrace{\Longrightarrow}^{?} \;\; 2(n+1)-3 \leq 2^{n-1}$$

3. Demostrar que es cierto:

Y a partir de aquí ya no sé seguir, porque algo que veo es que 2(n+1)-3 es lo mismo que sumarle 2 a 2n-3, y, por tanto, sumar también dos al otro lado de la ecuación ($2^{n-2}$), pero en esta ocasión no se me ocurre cómo compararlo con el $2^{n-1}$.


Gracias por la ayuda, una vez más!

[Afisionado]

Re: Otro de inducción

Hola.
¿Hay algo mal en el enunciado?
Porque yo veo que para:

n=0 es -3 < 2^-2 o sea -3 < 1/4
n=1 es -1 < 2^-1 o sea -1 < 1/2

etc.
¿O estoy viendo cosas raras?
Saludos.

[arreldepi]

Re: Otro de inducción

Hola.
¿Hay algo mal en el enunciado?
Porque yo veo que para:

n=0 es -3 < 2^-2 o sea -3 < 1/4
n=1 es -1 < 2^-3 o sea -1 < 1/8

etc.
¿O estoy viendo cosas raras?
Saludos.

Hm, a mi para 1 me da diferente, a demás para n = 3 y n = 4 no se cumple.

Para n = 1 se cumple -1<1/2
Para n = 2 se cumple 1 = 1
Para n = 3 NO se cumple 3 no es ni menor ni igual que 2
Para n = 4 no se cumple.
Para n = 5 se vuelve a cumplir 7<8
Para n = 6 se cumple; 9>16
etc.


Un saludo!

[alespa07]

Re: Otro de inducción

Hola arreldepi. Dichosas inducciones no?

Lo que te falta por mostrar es que:

$\forall n>5\quad,\quad 2^{n-2}+2\leq 2^{n-1}$

Entonces, lo que puedes hacer es analizar el signo de la siguiente expresión:

$2^{n-2}-2^{n-1}+2=2^{n-2}\left(1-2+\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}\right)$

Ya lo tienes porque para $n>1$, siempre tendrás que $\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}<1$ y el término entre paréntesis siempre es negativo. ¿Lo ves? sino postea. De ahí encuentras la desigualdad que querías.

Saludos.

[arreldepi]

Re: Otro de inducción

Hola arreldepi. Dichosas inducciones no?

Lo que te falta por mostrar es que:

$\forall n>5\quad,\quad 2^{n-2}+2\leq 2^{n-1}$

Entonces, lo que puedes hacer es analizar el signo de la siguiente expresión:

$2^{n-2}-2^{n-1}+2=2^{n-2}\left(1-2+\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}\right)$

Ya lo tienes porque para $n>1$, siempre tendrás que $\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}<1$ y el término entre paréntesis siempre es negativo. ¿Lo ves? sino postea. De ahí encuentras la desigualdad que querías.

Saludos.

Hola Alespa07! La verdad es que creía que ya tenía la inducción bastante clara pero este de aquí me ha matado xD.

A ver si lo he entendido bien, una vez tienes la comparación, lo pasas todo a el mismo lado de la desigualdad, con lo que lo único que tienes que demostrar es que para un determinado n eso es menor que 0, no? y como te sale que a partir de 1 lo es, y en nuestro caso tenía que serlo para un n mayor que 5, entonces es seguro que queda demostrado.

Es esa la idea??


Muchísimas gracias!!

[alespa07]

Re: Otro de inducción

Hola Alespa07! La verdad es que creía que ya tenía la inducción bastante clara pero este de aquí me ha matado xD.

A ver si lo he entendido bien, una vez tienes la comparación, lo pasas todo a el mismo lado de la desigualdad, con lo que lo único que tienes que demostrar es que para un determinado n eso es menor que 0, no? y como te sale que a partir de 1 lo es, y en nuestro caso tenía que serlo para un n mayor que 5, entonces es seguro que queda demostrado.

Es esa la idea??


Muchísimas gracias!!

Hola de nuevo. Si esta es la idea. Pasas todo de un lado de la desiguladad y con eso forma una expresión nueva. Si consigues demostrar que dicha expresión es negativa, habrás demostrado la desigualdad que buscabas en un principio. No te preocupes, poco a poco las cosas irán haciendo mella en tí. Roma no se hizo en un día!!!! Pero si necesito mucho esfuerzo jejeje.

Saludos.

[lucass]

Re: Otro de inducción

Hola.
Voy a tirar mi idea a ver que les parece.
suponemos que vale

$\displaystyle 2n-3 \leq 2^{n-2}$

y también sabemos (o en todo caso se puede demostrar fácil) que vale

$\displaystyle 2 \leq 2^{n-2} \quad,\quad \forall n\ge 3$

entonces ahora sumando $(2n-3)$ al primer miembro y $2^{n-2}$ del segundo queda:

$\displaystyle 2+2n-3 \leq 2^{n-2}+2^{n-2} \Longrightarrow 2(n+1)-3 \leq 2(2^{n-2})=2^{n-1}$

Me parece que está bien, ustedes dirán. He usado el hecho de que

dado $a \leq b \quad,\quad c \leq d \Longrightarrow a+c \leq b+d$

Espero no haberme equivocado.
Saludos

[Juanma1976]

Re: Otro de inducción

A mí me parece perfecto .
Como n=5 es el primer mayor o igual que 3 que cumple la desigualdad. La prueba de que se cumple para cualquier n>=5 es correcta.

Saludos.

Hola.
Voy a tirar mi idea a ver que les parece.
suponemos que vale

$\displaystyle 2n-3 \leq 2^{n-2}$

y también sabemos (o en todo caso se puede demostrar fácil) que vale

$\displaystyle 2 \leq 2^{n-2} \quad,\quad \forall n\ge 3$

entonces ahora sumando $(2n-3)$ al primer miembro y $2^{n-2}$ del segundo queda:

$\displaystyle 2+2n-3 \leq 2^{n-2}+2^{n-2} \Longrightarrow 2(n+1)-3 \leq 2(2^{n-2})=2^{n-1}$

Me parece que está bien, ustedes dirán. He usado el hecho de que

dado $a \leq b \quad,\quad c \leq d \Longrightarrow a+c \leq b+d$

Espero no haberme equivocado.
Saludos

[arreldepi]

Re: Otro de inducción

Hola de nuevo. Si esta es la idea. Pasas todo de un lado de la desiguladad y con eso forma una expresión nueva. Si consigues demostrar que dicha expresión es negativa, habrás demostrado la desigualdad que buscabas en un principio. No te preocupes, poco a poco las cosas irán haciendo mella en tí. Roma no se hizo en un día!!!! Pero si necesito mucho esfuerzo jejeje.

Saludos.

Jaja, pues sí, mucho esfuerzo. El viernes es el examen y lo veo algo crudo xD.

Gracias!!!

[arreldepi]

Re: Otro de inducción

Hola!

No termino de entender qué es lo que haces en este paso de aquí (cuando sumas $2^{n-2}+2^{n-2}$).

$\displaystyle 2+2n-3 \leq 2^{n-2}+2^{n-2} \Longrightarrow 2(n+1)-3 \leq 2(2^{n-2})=2^{n-1}$

¿Cómo es que vuelves a sumar el $2^{n-2}$?


Muchas gracias!

[lucass]

Re: Otro de inducción

Hola!

No termino de entender qué es lo que haces en este paso de aquí (cuando sumas $2^{n-2}+2^{n-2}$).

¿Cómo es que vuelves a sumar el $2^{n-2}$?

Lo que hice ahí es lo que expliqué al final de mi mensaje, o sea aplicar esto

En este caso sería:

$a=2 \quad,\quad b=2^{n-2} \quad,\quad c=2n-3 \quad,\quad d=2^{n-2}$

o sea

$2 \leq 2^{n-2} \quad,\quad 2n-3 \leq 2^{n-2} \Rightarrow 2+2n-3 \leq 2^{n-2}+2^{n-2}$

Después de ahí, simplemente tenes 2 veces el término $2^{n-2}$ esto es

$2(2^{n-2})=2^{n-2+1}=2^{n-1}$

A ver si ahí quedo mas claro.
Suerte el viernes che!

[arreldepi]

Re: Otro de inducción

Ahora sí, gracias!

[pod]

Re: Otro de inducción

La forma más sencilla que se me ocurre es tomar lo que queremos demostrar, que no es mas que

$$2n - 1 \le 2^{n-1}\ ,$$

y restar dos a cada miembro,

$$2n - 3 \le 2^{n-1}- 2 = 2 ( 2^{n-2} - 1 )\ .$$

De la hipótesis, sabemos que el miembro de la derecha es menor a $2^{n-2}$. Por lo tanto, uno prueba la siguiente cadena de desigualdades

$$2n-3 \le 2^{n-2} \underbrace{\le}_? 2 ( 2^{n-2} - 1 )\ .$$

Si conseguimos demostrar la segunda desigualdad, la cadena (2) será cierta; y eso implica que (1) es cierto. Demostrar la segunda desigualdad es sencillo,

$$2^{n-2} \le 2 ( 2^{n-2} - 1 )\ ,$$

pasamos las potencias a la derecha y el resto a la izquierda, lo que me permite escribir

$$2 \le 2^{n-2} ( 2 - 1 ) = 2^{n-2}\ .$$

Lo cual es cierto si $n-2 \ge 1$.

Arreldepi, no te preocupes. Una cosa es entender el concepto, y otra encontrar la forma de hacer un determinado problema. Por ejemplo, mucha gente entiende muy bien el proceso de integración, pero nadie hasta el momento ha podido encontrar la función primitiva a $\eee{x^2}$.

[arreldepi]

Re: Otro de inducción

Gracias! Pf, sí, el problema muchas veces es ver qué camino hace que quede demostrado. Al principio, con las demostraciones por inducción de desigualdades, no entendía muy bien por qué quedaba demostrado una vez conseguíamos "resolver" los últimos términos de la cadena de desigualdades. Pero bueno, supongo que siempre va pasando lo mismo hasta que se coge cierta agilidad, porque muchas veces, cuando los profesores de problemas resuelven un ejercicio, nos quedamos un poco alucinados de que multiplican o suman algun término en ambos lados de la igualdad o cualquier cosa de éstas, en general me cuesta bastante de ver por mí mismo.

Pero bueno, al final el examen de hoy ha sido bastante más sencillo de lo que creíamos todos (teniendo en cuenta que el año pasado les pidieron la demostración del binomio de Newton xD). Han sido unas pocas cuestiones de verdadero y falso (de topología y reales, un poco rebuscadas) y luego, nos daban 4 números complejos y nos han hecho hacer operaciones con ellos.


Muchas gracias a todos y un saludo!