2o ciclo duda función

[mocc]

Buenas!

Alguien podía decirme el dominio y la imagen de la siguiente función??:

$f(x,y)=(\frac{1}{x^2+y^2-1},\frac{1}{x+y})$

Gracias!

PD:¿Cómo podría verlo con Matlab?

[electr0n]

Re: duda función

No entiendo la forma en que está escrita. Si depende de x e y, ¿por qué se divide en dos partes? ¿Podría ser algo así como f(u(x,y),v(x,y))?

[mocc]

Re: duda función

Si, efectivamente es una función de ese tipo.
Saludos!

[pod]

Re: duda función

Cuando tienes una función racional (una fracción), forman parte del dominio todos aquellos puntos en que el denominador es diferente de cero. Ten en cuenta también que en los campos vectoriales de este estilo, el dominio es la intersección de los dominios de cada componentes

[mocc]

Re: duda función

Si, el dominio de la primera es todo R menos la circunferencia $x^2+y^2=1$ y de la segunda es todo R menos la recta x=-y.
Entonces si el dominio es la intersección: sería todo R mneos los puntos(1/2,-1/2) y (-1/2,1/2).
Y la imagen?

[alespa07]

Re: duda función

Cuando tienes una función racional (una fracción), forman parte del dominio todos aquellos puntos en que el denominador es diferente de cero. Ten en cuenta también que en los campos vectoriales de este estilo, el dominio es la intersección de los dominios de cada componentes

Hola. No querías decir la unión de los dominios de cada componentes???

[pod]

Re: duda función

Si, el dominio de la primera es todo R menos la circunferencia $x^2+y^2=1$ y de la segunda es todo R menos la recta x=-y.
Entonces si el dominio es la intersección: sería todo R mneos los puntos(1/2,-1/2) y (-1/2,1/2).
Y la imagen?

No, has hecho la intersección mal.

Hola. No querías decir la unión de los dominios de cada componentes???

Ambas funciones deben existir, así que los puntos del dominio deben pertenecer al dominio de ambas componentes. Esa es la definición de intersección.

[mocc]

Re: duda función

Cierto me había comido una raíz...
serían los puntos $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}) y (\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$
Y la imagen cuál sería?

[pod]

Re: duda función

Cierto me había comido una raíz...
serían los puntos $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}) y (\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$
Y la imagen cuál sería?

No, lo siento, ese no es el dominio. Has hecho la intersección de los puntos que no forman parte de los dos dominios (los complementarios). Recuerda que la intersección de complementarios es el complementario de la unión.

El dominio es

$$\begin{aligned}<br /> \mathrm{dom} f &= \mathbb{R}^2 - \Big\{ (x,\ y) \Big| x^2 + y^2 = 1 \Big\} - \Big\{ (x,\ y) \Big| x = -y \Big\} <br /> \\ &= \Big\{ (x,\ y) \Big| x^2 + y^2 \neq 1\ \ \text{y}\ \ x \neq -x \Big\} .<br /> \end{aligned}$$

La imagen, se hace igual que para funciones normales; el recorrido de cada componente.

[mocc]

Re: duda función

Entonces, la imagen de la primera componente es
R-{(0,1),(0,-1)}
y de la segunda es
R-{y=x}????
Siento tantas molestias...

[pod]

Re: duda función

Entonces, la imagen de la primera componente es
R-{(0,1),(0,-1)}
y de la segunda es
R-{y=x}????
Siento tantas molestias...

Lo siento, pero lo que has escrito no tiene sentido. R son números, no puedes restarle puntos de dos dimensiones.

El recorrido de la primera componente es la unión de intervalos $(-\infty,\ -1] \cup (0,\ \infty) = \mathbb R - (-1,\ 0]$. El de la segunda segunda son todos los reales excepto el cero. Por lo tanto, la imagen total será

$$\mathrm{Im} f = \Big\{ (u,\ v) \Big| u < 0\ \text{\'o}\ u \le -1 ; \ v \neq 0 \Big\} = \mathbb R^2 - \Big\{ (u,\ v) \Big| -1 < u \le 0 \ \text{\'o}\ v = 0 \Big\}.$$

Fíjate que he puesto (u, v) para que no te confundas con las x e y que son las variables de la función.

[mocc]

Re: duda función

Pero a que llamas u y v?a cada componente de la función?y como sacas el recorrido de la primera componente?...

[pod]

Re: duda función

Pero a que llamas u y v?a cada componente de la función?y como sacas el recorrido de la primera componente?...

La función vectorial que tienes es una aplicación de $\mathbb R^2$ en $\mathbb R^2$,

$$f : \mathrm{dom} f \subset \mathbb R^2 \longrightarrow\mathrm{Im} f \subset \mathbb R^2 .$$

Por lo tanto, tanto el dominio como la imagen son subconjuntos de $\mathbb R^2$, ambos tienen dos componentes.


El recorrido de la primera función es muy sencillito, ya que de hecho es como una función de una sola variable,

$$f_x = \frac1{r^2 - 1}\ .$$

Para las funciones de una variable es muy sencillo sacar el recorrido (o imagen), sólo hay que recordar el recorrido de la función es igual al dominio de la función inversa. Así que lo que podemos hacer es ver la función inversa (despejar la r de la ecuación anterior),

$$r = \sqrt{ \frac{1+f_x}{f_x} } .$$

La fracción indica que $f_x$ no puede ser cero. La raíz fuerzqa que lo de dentro sea positivo. Si $f_x$ es positivo, no hay problema. Si es negativo, pero lo de arriba también es negativo, tampoco hay problema (negativo entre negativo da positivo). El problema se da si lo de arriba es positivo, pero $f_x$ negativo, lo cual se da sólo si $f_x$ está entre -1 y 0 (recuerda que el cero ya estaba excluido de antes).