1r ciclo Duda con la suma de una serie

[sarahiris]

Tengo una duda sobre la suma de dicha serie:
∑∞ n=0 $n/2^n$

Si alguien me pudiese ayudar se lo agradecería.

Gracias de antemano.

[pod]

Re: Duda con la suma de una serie

Un posible truco es escribir la serie en términos de una variable,

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n} = -x \frac{\dd}{\dd x} \left(\frac{1}{x}\right)^{\!n} ,$$

donde al final (después de hacer la derivada) tendrás que poner x = 2.

[electr0n]

Re: Duda con la suma de una serie

Hace tiempo que no resuelvo de éstas, pero creo recordar que se hacía más o menos así:

$\displaystyle S=\sum_{n=0}^\infty\frac{n}{2^n}=\sum_{n=0}^\infty n\left(\frac{1}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty nx^n$ con x=1/2 < 1

$<br /> \displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n<br />$

Derivamos en la segunda suma:

$<br /> \displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty nx^{(n-1)}<br />$

Hacemos el cambio n-1=m

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nx^{(n-1)}=\sum_{m=-1}^\infty (m+1)x^m=\sum_{m=-1}^\infty mx^m+\sum_{m=-1}^\infty x^m=$

$<br /> =\displaystyle -\frac{1}{x}+\sum_{m=0}^\infty mx^m+\frac{1}{x}+\sum_{m=0}^\infty x^m=\sum_{m=0}^\infty mx^m+\frac{1}{1-x}=S+\frac{1}{1-x}<br />$

Y finalmente igualamos:

$\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}=S+\frac{1}{1-x}$

$\displaystyle S=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{(1-x)^2}$

Ahora sustituimos la x por el valor en nuestra serie (x=2) y calculamos:

$\displaystyle S=\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$

Por tanto, el resultado de la suma converge a 2. Antes de nada hay que mirar si la serie es convergente, pero bueno...

Saludos

[pod]

Re: Duda con la suma de una serie

El resultado está bien, electrón, aunque parece que hayas gastado demasiado papel.

[electr0n]

Re: Duda con la suma de una serie

Jaja, bueno, en mi cuaderno ocupa media cara pero... tengo tendencia a escribir todos los pasos en detalle para que se vea.

La verdad es que en su momento me gustaba mucho resolver estos ejercicios (ahora el que parece un matemático he sido yo )

[pod]

Re: Duda con la suma de una serie

Jaja, bueno, en mi cuaderno ocupa media cara pero... tengo tendencia a escribir todos los pasos en detalle para que se vea.

La verdad es que en su momento me gustaba mucho resolver estos ejercicios (ahora el que parece un matemático he sido yo )

A mi me ocupa linea y media. Pero bueno, dicen que el tamaño no importa