2o ciclo Derivada

[rruisan]

buenas noches tengo la siguiente duda de esta expresion para derivarla el primer miembro se como hacerlo pero el seguno miembro no porque no tiene n. Gracias de antemano!

$\frac{d}{dn}\left(\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\frac{nh\nu}{kT}}=\frac{1}{1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}}\right)$

[electr0n]

Re: Derivada

La expresión que pones seguramente se refiere al método seguido por Planck para calcular la energía promedio del espectro de un cuerpo negro mediante sumas discretas.

Esa derivada tal y como está puesta no tiene sentido. En todo caso, lo que hay que hacer es

$\displaystyle\alpha=\frac{h\nu}{kT}$

$\displaystyle\frac{d}{d\alpha}\sum_{n=0}^\infty{e^{-n\alpha}}=-\sum_{n=0}^\infty{ne^{-n\alpha}}$

La primera suma es una progresión geométrica, mientras que la segunda ayuda a calcular otro término en la energía promedio, conocida la expresión general de la primera.

Esta noche cuando vuelva lo pongo más completo.

Saludos.

[rruisan]

Re: Derivada

Si asi electron es para calcular la densidad promedio el segundo miembro me parase que lo haria igual sino me equivoco! me surge la duda de como sacar los numeros de grados de libertad se que es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por unas notas que tengo pero no se como obtenerla! Gracias de antemano!

[electr0n]

Re: Derivada

A ver, hablas de cosas distintas.

Cuando se estudia matemáticamente el espectro del cuerpo negro como una cavidad con ondas estacionarias de varias frecuencias, se llega a que la energía por unidad de volumen es

$\displaystyle\rho(\nu)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}E_P$

donde $E_P$ es la energía promedio de cada onda estacionaria.

Luego, Planck consideró la discreticidad de la energía $E=nh\nu$ y la distribución de probabilidad de Boltzmann dada por

$\displaystyle P(E)=\frac{e^{-nh\nu/kT}}{kT}$

y calculó la energía promedio como el cociente de sumas discretas que se calcula gracias al método de derivación que hemos dicho, dando el resultado:

$\displaystyle E_P=\frac{\sum_{n=0}^\infty{EP(E)}}{\sum_{n=0}^\infty{P(E)}}=\frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1}$

Entonces, el espectro de cuerpo negro de Planck quedará:

$<br /> \displaystyle\rho(\nu)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1}<br />$

El procedimiento que lleva al factor $8\pi\nu^2/c^3$ es algo tedioso y no lo puedo reproducir aquí. En todo caso, si tienes alguna duda concreta puedes plantearla...

Saludos

[rruisan]

Re: Derivada

Gracias y disculpa la pregunta que no le corresponde a este hilo!