Problema de Ecuaciones Diferenciales

[karel89]

Tengo un problema de Ecuaciones Diferenciales que no he podido resolver, a ver si alguien puede ayudarme

Encuentre los primeros 3 valores positivos de lamda para los cuales el problema tiene soluciones triviales

(1-x elevado a 2) y'' - 2xy' + lamda*y = 0

con y(0) = 0, y(x)=e y'(x) acotadas en [-1,1]

Gracias por su ayuda

[pod]

Re: Problema de Ecuaciones Diferenciales

Tengo un problema de Ecuaciones Diferenciales que no he podido resolver, a ver si alguien puede ayudarme

Encuentre los primeros 3 valores positivos de lamda para los cuales el problema tiene soluciones triviales

(1-x elevado a 2) y'' - 2xy' + lamda*y = 0

con y(0) = 0, y(x)=e y'(x) acotadas en [-1,1]

Gracias por su ayuda

Bueno, primero fíjate que tu ecuación diferencial puede escribirse tal que así

$\left[ (1-x^2) y' \right]' + \lambda y = 0 \ .$

Esta es la ecuación de Legendre, y es un tipo de ecuación de Strum-Liouville (apuntes en la web http://www.lawebdefisica.com/apuntsmat/strum/). Las soluciones se pueden buscar mediante la formula de Rodrigues

$y_n = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (1-x^2)^n\ .$

Así que básicamente tienes que substituir n = 1, 2, 3. Por substitución directa, se puede ver que $\lambda = n(n+1)$, que corresponde a $\lambda = 2, 6, 12$.