EDO homogénea de 2° grado imposible.

[Metaleer]

Muy buenas a todos, les comento el caso:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden homogénea de 2° grado:

$\displaystyle y' = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

Haciendo el cambio de variable $\displaystyle y = tx$ y sustituyendo y tal:

$\displaystyle t + xt' = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}$

queda esta ecuación de variables separables, ya con las variables separadas:

$\displaystyle \frac{1 - t^2}{1 - t + t^2 + t^3}~dt = \frac{dx}{x}$

El segundo miembro es un logaritmo neperiano bien fácil, pero el primer miembro es una integral que no tiene primitiva en términos de funciones elementales, si no me equivoco ¿Hay alguna otra forma de resolver la EDO, que no sea con un método aproximado como el método de Picard?

Gracias de antemano.

[pod]

Re: EDO homogénea de 2° grado imposible.

Seguro que puedes hacer la integral racional, prueba a escribir

$1-t+t^2+t^3 = (t-c)(t-a+ib)(t-a-ib) \ .$

[Metaleer]

Re: EDO homogénea de 2° grado imposible.

En efecto, pero me parece que sale un chorizo bastante tocho y desagradable.

Yo estaba pensando en directamente hacer la EDO de otra manera, sin tener que integrar eso, porque desde luego no sale algo bonito como puedes comprobar.

Gracias por responder, saludos.

[jo0000se]

Re: EDO homogénea de 2° grado imposible.

sugerencia... y si cambias y' por x'???? Es decir, en vez de dy/dx haces la inversa, entonces el tocho te queda invertido y puedes hacer una división polinómica. Lo he hecho por encima y no parece complicada (sale t -t²/2 + ln(t²+1) + 2 arctg(t) )

Echale un ojo y si no te convenzo postealo y lo resuelvo entero.

Espero haber servido de ayuda ;D