Ayuda con problema

[Eric]

Hola, estoy tratando de resolver un problema del libro de Mathews y Walker, pero no tengo mucha idea de como empezar. El problema dice:
Resolver
y'' + (2/x)y' -l(l-1)/x^2=delta(x-a) con a>0
en el intervalo
0<x<inf
sujeto a condiciones de borde
y(0)=y(inf)=0
l es un entero positivo.

Trate de resolver la ecuacion homogenea, es decir
y'' + (2/x)y' -l(l-1)/x^2=0
como una ecuacion de cauchy-euler y obtuve algo como

y=Sigma[cnx^(-1+-sqrt(1+4l(l+1))/2]

De ahi no se que mas hacer, diganme alguien si voy por buen camino o que tengo que hacer

Gracias

[pod]

Re: Ayuda con problema

Yo probaría aplicando la transformación de Fourier o Laplace a toda la ecuación. Um, quizá te convenga hacer el cambio t = 1/x antes de hacerlo.

[Eric]

Re: Ayuda con problema

Hola de nuevo, intente esa sugerencia pero estuvo un tanto complicado, probe con una solucion en forma de serie, es decir, Sigma(cn x^(n+s)) y obtuve que la solucion general al problema homogeneo es la combinacion lineal de r^l y r^-(l+1), pero de ahi no se como resolver la parte inhomogenea del problema con las condiciones de borde dadas.

Apreciaria cualquier sugerencia

Gracias

[carroza]

Re: Ayuda con problema

Hola, estoy tratando de resolver un problema del libro de Mathews y Walker, pero no tengo mucha idea de como empezar. El problema dice:
Resolver
y'' + (2/x)y' -l(l-1)/x^2=delta(x-a) con a>0
en el intervalo
0<x<inf
sujeto a condiciones de borde
y(0)=y(inf)=0
l es un entero positivo.

Trate de resolver la ecuacion homogenea, es decir
y'' + (2/x)y' -l(l-1)/x^2=0
como una ecuacion de cauchy-euler y obtuve algo como

y=Sigma[cnx^(-1+-sqrt(1+4l(l+1))/2]

De ahi no se que mas hacer, diganme alguien si voy por buen camino o que tengo que hacer

Gracias

Hola. Yo diria que hay una errata en tu enunciado, y realmente te refieres a
$y'' + (2/x)y' -(l(l-1)/x^2) y =delta(x-a)$.

Si no, no veo como es homogenea la ecuacion que pones.

Si este es el caso, las soluciones de tu homogenea
$y'' + (2/x)y' -(l(l-1)/x^2) y = 0$.

son $y=A x^{l-1}+B x^{-l}$

y la solucion que cumple tus condiciones de contorno es obvia

[pod]

Re: Ayuda con problema

Hola. Yo diria que hay una errata en tu enunciado, y realmente te refieres a
$y'' + (2/x)y' -(l(l-1)/x^2) y =delta(x-a)$.

Si no, no veo como es homogenea la ecuacion que pones.

Si este es el caso, las soluciones de tu homogenea
$y'' + (2/x)y' -(l(l-1)/x^2) y = 0$.

son $y=A x^{l-1}+B x^{-l}$

y la solucion que cumple tus condiciones de contorno es obvia

Pero tienes que aplicar las condiciones de contorno de la solución total, no sólo de la homogénea.

[carroza]

Re: Ayuda con problema

Hola. Yo diria que hay una errata en tu enunciado, y realmente te refieres a
$y'' + (2/x)y' -(l(l-1)/x^2) y =delta(x-a)$.

Si no, no veo como es homogenea la ecuacion que pones.

Si este es el caso, las soluciones de tu homogenea
$y'' + (2/x)y' -(l(l-1)/x^2) y = 0$.

son $y=A x^{l-1}+B x^{-l}$

y la solucion que cumple tus condiciones de contorno es obvia

Bueno, la solucion de la inhomogenea es

$A (x/a)^{l-1}$ para $\quad x<a$

$B (x/a)^{-l}$ para $\quad x>a$


Imponiendo continuidad de la funcion, se tiene $A=B$

Integrando la ecuacion diferencial inhomogenea entre $a-\epsilon$ y $a+\epsilon$ se tiene que la discontinuidad en la derivada $y'$vale 1. Por tanto,

$B (-l)/a - A (l-1)/a =1$.


De aqui sacais A y B