1r ciclo Fallo en un signo?

[neometalero]

Hola de nuevo, esta vez sí es la última si no pasa nada nuevo jeje.
La ecuacion diferencial a resolver es:

$$y'cotgh(2x)=2y-2$$

con condición inicial y(0)=0.
La solución que obtengo es

$$y=cosh(2x)-1$$

pero dicho -1 debe ser un +1 para satisfacer la ecuación original y no veo el fallo por ningún lado.
En vuestras manos me hallo...

[pod]

Re: Fallo en un signo?

En realidad, creo que te has equivocado de un signo global, $y = 1 - \cosh 2 x$ cumple la ecuación y la condición inicial.

Tu solución con signo más no cumple la condición inicial.

No sé decirte que fallo concreto has cometido sin ver tu procedimiento.

[neometalero]

Re: Fallo en un signo?

Esto es lo que he hecho:

$$\frac{y'}{y-1 }=\frac{2}{ cotgh(2x)}$$

de donde

$$\int \frac{dy}{y-1 }= \int\frac{2dx}{ cotgh(2x)}$$

A partir de ahi se tiene que:

$$ln(y-1)=ln[cosh(2x)]+C$$

Y el resto no lo pongo porque es bastante obvio jeje.
A ver que me cuentas pod, o quien sea...

[pod]

Re: Fallo en un signo?

Esto es lo que he hecho:

$$\frac{y'}{y-1 }=\frac{2}{ cotgh(2x)}$$

de donde

$$\int \frac{dy}{y-1 }= \int\frac{2dx}{ cotgh(2x)}$$

A partir de ahi se tiene que:

$$ln(y-1)=ln[cosh(2x)]+C$$

Y el resto no lo pongo porque es bastante obvio jeje.
A ver que me cuentas pod, o quien sea...

Fíjate que la ecuación 3 explota si pones y = 0 (te queda el logaritmo de -1), así que es imposible imponer la condición inicial ahí.

El truco está en poner límites a la integral, en la ecuación 2 pon que la integral de y va de 0 (condición inicial) a y (arbitraria). Y similar para x. Con esto no sólo tendrás "gratis" la condición inicial (no necesitarás poner una constante a ajustar posteriormente), sino que además el logaritmo saldrá saneado, ya que te quedará

$$\ln \frac{y-1}{-1} = \ln (1-y).$$

[neometalero]

Re: Fallo en un signo?

No me había fijado en eso, la he hecho demasiado...mecánicamente jeje.
Gracias pod!!

[Al2000]

Re: Fallo en un signo?

Otra posibilidad es evitar la constante sumando y colocarla dentro del logaritmo al integrar:

$$\ln (y-1) = \ln [K \cosh(2x)] \quad \Rightarrow \quad y = 1 + K \cosh (2x)$$

Entonces al imponer la condición $y(0) = 0$, resulta que $K = -1$.

Saludos,

Al

[pod]

Re: Fallo en un signo?

Otra posibilidad es evitar la constante sumando y colocarla dentro del logaritmo al integrar:

$$\ln (y-1) = \ln [K \cosh(2x)] \quad \Rightarrow \quad y = 1 + K \cosh (2x)$$

Entonces al imponer la condición $y(0) = 0$, resulta que $K = -1$.

Saludos,

Al

Eso es formalmente "feo", ya que en el lado izquierdo queda $\ln(-1)$, lo cual no existe. Mejor sería hacer lo mismo, pero pasando la constante al otro lado de la ecuación, $\ln[k(y-1)]$. Ahora imponer y = 0 ya te está diciendo que k tiene que ser negativa.

[carmelo]

Re: Fallo en un signo?

Hola:

Lo correcto a mi modo de ver es expresar la primitiva como corresponde:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos
Carmelo