Otras carreras Dependencia e Independencia Lineal SIN USAR el Wronskiano

[Boateng]

Hola Comunidad.
Pues tengo una pequeña duda de como determinar la Dependencia Lineal y/ó Independencia Lineal de un conjunto de Funciones sin usar el Wronskiano.

Aquí dejo un ejemplo:

Me dan las siguientes funciones:

f1 (X) = 0 ; f2 (X) = x ; f3 (x) = e2


NOTA: La respuesta es que SÍ es Linealmente Dependiente. Pero cómo llego a esa conclusión cuando me dan este grupo de funciones sin usar el Wronskiano? y cómo saco el intervalo?

[pod]

Re: Dependencia e Independencia Lineal SIN USAR el Wronskiano

Tienes que ver sí existen constantes a, b y c (no todas ellas nulas) tales que

a f1 + b f2 + c f3 = 0.

Y esta ecuación debe cumplirse para todo x.

En este caso, a=1, b=c=0 cumple la condición, por lo que son dependientes.

[Boateng]

Re: Dependencia e Independencia Lineal SIN USAR el Wronskiano

Entiendo el razonamiento; pero esas Constantes se eligen al azar? o puedo elegir cualquier número para probar?

[pod]

Re: Dependencia e Independencia Lineal SIN USAR el Wronskiano

Entiendo el razonamiento; pero esas Constantes se eligen al azar? o puedo elegir cualquier número para probar?

No existe una técnica universal para encontrarlas (por eso se inventó el Wronskiano, para hacer la demostración de forma más fácil). Demostrar que existen constantes que cumplen la condición es muy "fácil", basta con tener una idea feliz y encontrar un ejemplo. Ahora, demostrar la independencia lineal es otro asunto. Por que la no existencia de algo no se puede demostrar yendo caso por caso.

Por curiosidad, porqué no quieres/puedes usar el Wronskiano?

[Boateng]

Re: Dependencia e Independencia Lineal SIN USAR el Wronskiano

Sí sé usar el Wronskiano, y en lo personal me resulta más cómodo hacerlo por ese método. Lo que ocurre es que en una parte de mi guía de ejercicios se me pide que demuestre la Linealidad de ciertos grupos de funciones pero sin usar el Wronskiano solamente que utilize métodos algebraicos.

Y creo haber escuchado al catedrático de mi universidad decirnos que a veces el resultado del Wronskiano W(f1,f2) = 0, aunque sea CERO no precisamente se concluye que las funciones sean Linealmente Dependientes,hay excepciones, aunque son casos muy raros.

[dvc]

Re: Dependencia e Independencia Lineal SIN USAR el Wronskiano

Hola Comunidad.
Pues tengo una pequeña duda de como determinar la Dependencia Lineal y/ó Independencia Lineal de un conjunto de Funciones sin usar el Wronskiano.

Solo un comentario sobre el Wronskiano, supongo que ya lo sabrás pero lo comento por si acaso.
Si el Wronskiano de varias funciones es no nulo en algún punto, entonces dichas funciones son linealmente independientes.
Sin embargo, si el Wronskiano de varias funciones es 0 en todos los puntos del dominio, estas funciones no tienen por qué ser linealmente dependientes.

Para ver si las funciones son linealmente dependientes o independientes se me ocurren dos maneras:
Una forma, es la que dice Pod.
Tu planteas la siguiente ecuación:
a*f1 + b*f2 + c*f3 = 0
Tratas de buscar todos los valores posibles de a, b y c que cumplan esta ecuación (para todo x)
Si la única solución es a=b=c=0 entonces son linealmente independientes.
Si existe alguna otra solución, entonces las funciones son linealmente dependientes.

Para hallar los valores de las constantes a, b y c tienes que ir probando para varios x:
Por ejemplo, probamos para x=0 y obtenemos la siguiente ecuación:
a*0+b*0+c*e2=0
De donde deduces que c=0

Ahora planteamos la ecuación para x=1 (ya sabemos que c=0). Nos queda que:
a*0+b*1+0*e2=0
De donde deduces que b=0

Luego finalmente tenemos que:
a*0+0+0=0
Es fácil ver que para cualquier valor de a se cumple la ecuación, es decir, a no tiene por qué ser 0 luego las 3 funciones son linealmente dependientes.


Otra forma de resolver este tipo de problemas es la siguiente:

Supón que que queremos saber si las funciones f1, f2, ...fn son linealmente independientes:
Primero encontramos una base del espacio generado por dichas funciones. Los elementos de la base los llamo g1,g2,...gk. (Dichas funciones tienen que ser linealmente independientes).
Si n>k, entonces por narices las f son linealmente dependientes.
si n<=k hacemos lo siguiente:
Expresamos las f en función de las g:
f1=c11*g1+c12*g2+...c1k*gk
f2=c21*g1+c22*g2+...c2k*gk
...
fn=cn1*g1+cn2*g2+...cnk*gk

Si la matriz formada por los cij tiene rango n,entonces las funciones son linealmente independientes. Si el rango es menor que n, las funciones son linealmente dependientes.

[Boateng]

Re: Dependencia e Independencia Lineal SIN USAR el Wronskiano

Muchas Gracias dvc muy buen aporte.

Muchisímas Gracias. Pero digamos si le ponemos más 'picante' a esta situación y me dan este grupo de funciones:

f1(x) = 5 ; f2(x) = (cosX)^2 ; f3(x) = (senX)^2

como haría para determinar esas constantes?

[dvc]

Re: Dependencia e Independencia Lineal SIN USAR el Wronskiano

Muchas Gracias dvc muy buen aporte.

Muchisímas Gracias. Pero digamos si le ponemos más 'picante' a esta situación y me dan este grupo de funciones:

f1(x) = 5 ; f2(x) = (cosX)^2 ; f3(x) = (senX)^2

como haría para determinar esas constantes?

Bueno, se hace igual que en el caso anterior.

a*f1 + b*f2 + c*f3 = 0

Tomando primero x=0 y luego x=pi/2 obtenemos estas dos ecuaciones:

5*a + b = 0
5*a + c = 0

De donde obtenemos que b=c

Por tanto la primera ecuación nos queda:

a*f1 + b*f2 + b*f3 = 0

Sacando factor común a la b:
a*f1 + b = 0
Luego nos queda que:
b = -5*a
Es decir, si tomamos que b = c = -5*a (con a distinto de 0)
Obtenemos que:

a*f1 + b*f2 + c*f3 = 0 (con a, b , c distintos de 0)

Por tanto, son linealmente dependientes.

Otra opción sería hacerlo a ojo directamente.