1r ciclo Ecuaciones homogéneas con coeficientes variables

[Purpuro]

[FONT=Courier]Hola que tal, tengo unos ejercicios que no he podido resolver y espero que alguien del foro que tenga una poca o mucha más experciencia que yo, me pueda ayudar con ellos[/FONT]

[FONT=Courier]$y''-4 y y'=0$[/FONT]

$<br /> x^2+2xy'+y'-12y=0<br />$


En realidad no busco que me resuelvan las ecuaciones así de fácil, simplemente que me orienten con un cambio de variable o alguna forma de simplificar las cosas y yo le sigo de ahí, sólo conozco hasta ahora el método de Cauchy-Euler y variación de parametros para ecuaciones con coeficientes variables

Gracias y saludos.

[Umbopa]

Re: Ecuaciones homogéneas con coeficientes variables

Para la primera te diré que toda ecuación de la forma y''=f(y,y') se resuelve con el cambio y'=p
y'=p ----> y''=p' ---> y''=dp/dy dy/dx= dp/dy * p
sustituyendo en la ecuación anterior queda : p dp/dy = f(y,p) de aquí sale p=p(y,C1) ---> dy/dx = f(y,C1) ---> dx=dy/f(y,C1)

Para la segunda te diré que es sencilla , es lineal de primer orden ya que :

y'(1+2x)-12y=-x^2 ----> y'-12y/(1+2x)=-x^2/(1+2x) y se resuelve multiplicando los dos lados de la ecuación por integral(-12dx/(1+2x)) y te quedara la derivada de un producto a un lado de la ecuación y a partir de ahí sera muy fácil resolver (variables separadas)


Un consejo : y''=f(y,y') esta ecuación diferencial es importante , porque si te fijas tiene la forma de la segunda ley de newton para un sistema autónomo , dónde no aparece explícitamente la variable "t" ----> y''=f(y,y') ---> a = f(x,v) que tiene la forma de la segunda ley de newton :
F(x,v)=ma ---> a=F(x,v)/m

[Purpuro]

Re: Ecuaciones homogéneas con coeficientes variables

Gracias por la respuesta, muy bien explicado ya no tuve problemas, dejó aquí la solución por si alguien se encuentra con algo similar en el futuro.

Con el mismo cambio de variable

$<br /> (dp/dy) p -4yp=0 \int dp=\int 4y dy \Rightarrow p=2y^2 <br /> dy/dx=2y^2\Rightarrow dx=dy/2y^2 \Rightarrow y=1/2x <br />$

y para la otra
$y'-(12/2x+1)y=-x^2/2x+1$
el coeficiente de integración es
$u(x)=e^-\int 12/2x+1 dx=(2x+1)^-6$
multiplicando
$<br /> d/dx((2x+1)^-6 (y))=-x^2/(2x+1)^7<br />$
Integrando
$<br /> (2x+1)^-6y=(1+12x(1+5x))/480(1+2x)^6<br />$
lo que da:
$y=1+12x(1+5x)/180$

ya están comprobadas