2o ciclo Factor integrante

[rruisan]

Buenos días tengo la siguiente ecuación $xdy=(x\sin x-y)dx$, de antemano se que es exacta aplicando la definición. Me surge la duda si se puede resolver por factor integrante. Lo intente hacer pero no me da la respuesta correcta $\mu(x)=x$. Esto queda como


$\int d(xy)=\int\sin x\to y=\frac{1}{x}[-cosx +c]$

Gracias de atemano

[pod]

Re: Factor integrante

Para las exactas, los dos diferenciales tienen que estar en el mismo lado de la igualdad. Si lo reescribes como

$$(y - x \sin x) \dd x + x \dd y = 0,$$

verás que se cumple

$$\frac{\partial (y-x\sin x)}{\partial y}= \frac{\partial x}{\partial x}.$$

Luego, no necesitas factor integrante.

[rruisan]

Re: Factor integrante

Gracias pod, mi duda es básicamente saber si una ecuación exacta también se pueda resolver por factor integrante. Ese problema lo hice para los dos casos y veo que el resultado cambia ligeramente. Gracias de antemano.

[pod]

Re: Factor integrante

Gracias pod, mi duda es básicamente saber si una ecuación exacta también se pueda resolver por factor integrante. Ese problema lo hice para los dos casos y veo que el resultado cambia ligeramente. Gracias de antemano.

Bueno, el factor integrante es 1, o cualquier constante. En definitiva tu buscas un factor integrante g(x,y) que haga que se cumpla la igualdad de derivadas cruzadas. Si ya se cumple de entrada, la solución es $g(x,y) = 1$.