2o ciclo sobre resolver este sistema de ecuaciones diferenciales de forma mas sencilla?

[thekagas]

Hola a tod@s. Bueno os presento el problema en cuestion, en el cual se pretende hallar la solucion del sistema:

$\displaystyle x' = 4y+z$
$\displaystyle y' = z-4$
$\displaystyle z' = 5z-2x$

que verifica las condiciones iniciales $x(0)=-2, y(0)=3, z(0)=0$. *Ayuda: el sistema tiene una solución constante.

Vale, la cuestion es que el procedimiento sistemático de hallar los autovalores y autovectores de la matriz asociada, hallar la matriz fundamental canónica en el origen a través de cualquier matriz fundamental de soluciones y aplicar la fórmula para resolver el sistema completo junto con las condiciones iniciales me lo se perfectamente. El problema es que en este ejercicio resulta un coñazo importante y dado que en el ejercicio me dicen que el sistema tiene una solución constante (que se puede hallar fácilmente probando con vectores constantes en el sistema) me gustaría saber como puede este dato, de alguna manera, simplificar los cálculos que debo hacer. (Por qué si no iban a decirme que existe una solución constante? supongo que sabiendo esto se podrá acatar el problema de otra manera mas sencilla no?)

En fin, esa es mi duda, me gustaría si pudiese ser que me ayudasen a resolverla antes del viernes que tengo el exámen (si no puede ser no pasa nada, evidentemente no voy a imponer un limite de tiempo a la gente que presta su ayuda desinteresadamente jej me vendrá bien aclarar el concepto de todos modos sea cuando sea )

Gracias a tod@s

[pod]

Re: sobre resolver este sistema de ecuaciones diferenciales de forma mas sencilla?

Para encontrar la solución constante, simplemente pon las derivadas a cero, y podrás aislar x, y, z como un sistema de ecuaciones normales. Por ejemplo, de la segunda queda claro que z = 4, en la primera y = -1, etc.

Obviamente, esta solución no te sirve porque no cumple las condiciones iniciales. Pero, una vez tienes una solución particular al sistema, ¿sabes encontrar la general?

[thekagas]

Re: sobre resolver este sistema de ecuaciones diferenciales de forma mas sencilla?

Claro, si ya había hallado esa solución particular constante, que es el vector $\begin{pmatrix}10 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}$, pero el problema es que no se qué hacer con el, cómo emplearlo para facilitar la labor de hallar la solución al sistema completo.
Mi problema es que mi profesor no es muy dado a explicar con detalle la teoría, con lo cual tan solo se aplicar de forma sistemática la formula

$\bar{x}(t)=\mathrm{e}^{A(t-{t}_{0})}{\bar{x}}_{0}+\int_{{t}_{0}}^t \mathrm{e}^{A(t-s)}\bar{b}(s) \mathrm{d}s$

para hallar la solución del sistema junto con las condiciones iniciales. La cuestión es, sabiendo ese vector solución particular, cómo puedo aplicarlo en este método?
lo cierto es que andar calculando la matriz fundamental canónica en 0 (que es la $\mathrm{e}^{At}$) por el método de los autovalores y autovectores + diagonalizar + hallar la matriz de paso y su inversa + hacer el producto de las matrices...etc etc puede llevar demasiado tiempo en este ejercicio..

Gracias por responder

[pod]

Re: sobre resolver este sistema de ecuaciones diferenciales de forma mas sencilla?

Claro, si ya había hallado esa solución particular constante, que es el vector $\begin{pmatrix}10 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}$, pero el problema es que no se qué hacer con el, cómo emplearlo para facilitar la labor de hallar la solución al sistema completo.
Mi problema es que mi profesor no es muy dado a explicar con detalle la teoría, con lo cual tan solo se aplicar de forma sistemática la formula

$\bar{x}(t)=\mathrm{e}^{A(t-{t}_{0})}{\bar{x}}_{0}+\int_{{t}_{0}}^t \mathrm{e}^{A(t-s)}\bar{b}(s) \mathrm{d}s$

para hallar la solución del sistema junto con las condiciones iniciales. La cuestión es, sabiendo ese vector solución particular, cómo puedo aplicarlo en este método?
lo cierto es que andar calculando la matriz fundamental canónica en 0 (que es la $\mathrm{e}^{At}$) por el método de los autovalores y autovectores + diagonalizar + hallar la matriz de paso y su inversa + hacer el producto de las matrices...etc etc puede llevar demasiado tiempo en este ejercicio..

Gracias por responder

Fíjate que las únicas posibilidades de que la ecuación que has puesto tenga una solución que no dependa del tiempo es que A = 0, o que haya una cancelación complicada entre la integral y el término de las condiciones iniciales (teniendo en cuenta que aquí la b, si entiendo bien la notación, es un vector de constantes en este caso. Eso te dice bastante de la solución.

[thekagas]

Re: sobre resolver este sistema de ecuaciones diferenciales de forma mas sencilla?

bueno, muchas gracias por responder, aunque no me ha aclarado muy bien la duda jeje pero gracias d todos modos