Otras carreras solucion forzada

[LauraLopez]

Sea

$\dst \frac{{d}^{2 } x}{ d t^2 } + 6 \frac{d x}{d t } + 8 x = 4t {e}^{-4t } + 4 {e}^{-t }$

Encuentre la solucion forzada $\dst x_f(t)$

Bueno lo hice de una forma tratando de seguir como lo exlica el libro pero no estoy segura de que este bien....

Primero lo dividi en 2 partes :

$\dst \frac{{d}^{2 } x}{ d t^2 } + 6 \frac{d x}{d t } + 8 x = 4t {e}^{-4t }$ (1)

$\dst \frac{{d}^{2 } x}{ d t^2 } + 6 \frac{d x}{d t } + 8 x = 4 {e}^{-t }$ (2)

Donde

$\dst x_f(t) = x_1(t) + x_2(t)$

Empecemos por (1)

La solucion forzada tentativa es :

$\dst x_1 = A t {e}^{-4t }$

Calculo las derivadas:

$\dst \frac{d x_1}{ dt} = A {e}^{-4t } - 4 At {e}^{-4t }$

$\dst \frac{{d}^{2 } x_1}{d t^2 } = -8 A {e}^{-4 t } + 16 A t {e}^{-4 t }$

Sustituyendo estas expresiones en (1) tengo

A = - 2 t

Luego

$\dst x_1 = - 2 t^2 {e}^{-4 t }$

Veamos ahora para (2)

La solucion forzada tentativa es :

$\dst x_2 = A {e}^{-t }$

Calculo las derivadas y sustitiyo en la expresion (2) y llego a que A = 4/3

Luego $\dst x_2 = \frac{4}{3 } {e}^{-t }$

Finalmente

$\dst x_f(t) = - 2 t^2 {e}^{-4t } + \frac{4}{3 } {e}^{-t }$

Bueno se que lo que hice no debe estar bien porque si sustituyo los resultados en la ecuacion original no se veriica , pero que paso hice mal y porque? y como es la forma de hacerlo entonces?

Gracias

[arivasm]

Re: solucion forzada

La solución tentativa $x_1$ que pones no es correcta, como queda claro por el hecho de que en lugar de tener una constante te sale algo que depende de t. Debes probar con un polinomio de grado 1, es decir, $(a+bt)\ee^{-4t}$

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

esta bien y como sabes que la solucion tentativa sera asi? voy a tener 2 incognitas a y b como hago apra calcular ambas? y para la segunda parte la solucion tentativa que puse es correcta?

- - - Actualizado - - -

igualmente haciendo eso que decis llego a que me desaparece la A al sustituir asi que nose cuando vale la A y el termino que llamas B llego a que es :

$\dst B = \frac{4 t}{14 - 16 t }$

tambien depende de t eso esta bien?

[arivasm]

Re: solucion forzada

Me acabo de dar cuenta de que la ecuación es un poco más complicada de lo que parece, pues su ecuación característica tiene por raíces -2 y -4. Esto significa que en la solución homogénea (lo que en tus apuntes llaman "no forzada") ya habrá un término de la forma $A\ee^{-4t}$, por lo que el polinomio que multiplique a $\ee^{-4t}$ no puede tener términos de grado cero (pues ya estarán en la propia solución homogénea).

En estos casos, en lugar de manejar la solución tentativa que te dije hay que multiplicarla por $t^s$, donde $s$ es el menor exponente que asegure la no repetición de términos en la solución homogénea. En concreto, en nuestro caso hay que multiplicar por $t^1$.

En consecuencia, la solución tentativa que hay que emplear es $t(a+bt)\ee^{-4t}=(at+bt^2)\ee^{-4t}$.

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

mmm esta bien si uso esa solucion tentativa que vos decis igualmente tengo 2 incognitas a y b, como hago para encontrar ambas? y que ademas no me quede en funcion de t?

[arivasm]

Re: solucion forzada

Tienes que hacer las derivadas y substituir en la ecuación diferencial. Después es simplemente cuestión de igualar los coeficientes de los términos a izquierda y derecha que tengan los mismos exponentes.

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

mmm bueno ahi lo hago pero es una sola ecuacion y 2 incognitas no creo que pueda obtener el valor de A y B y ademas va a depender de t mi resultado ...

- - - Actualizado - - -

no entiendo porque esta solucion esta en la no forzada si esta tiene u termino que multiplica por t y la no forzada no lo tiene....

[arivasm]

Re: solucion forzada

A ver si no me equivoqué en algo. La solución tentativa va a ser, como dije

$$x=t(a+bt)\ee^{-4t}=(at+bt^2)\ee^{-4t}$$

Derivando, y agrupando términos tenemos

$$\dot x=[a+(-4a+2b)t-4bt^2]\ee^{-4t}$$

$$\ddot x=[(-8a+2b)+(16a-16b)t+16bt^2]\ee^{-4t}$$

Ahora llevamos todo esto a la ecuación diferencial

$$\ddot x+6\dot x+8 x=4t\ee^{-4t}$$

con lo que tenemos, si agrupamos los términos del lado izquierdo

$$[(-2a+2b)-4bt]\ee^{-4t}=4t$$

donde en el lado izquierdo no aparece el término con $t^2$ porque al sumar sus coeficientes se hacen 0.

Por (5) tenemos un sistema de ecuaciones

$-2a+2b=0$
$-4b=4$

de donde resulta $a=b=-1$, y entonces la solución particular buscada es $x_1=t(-1-t)\ee^{-4t}=-(t+t^2)\ee^{-4t}$

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

esta bien si haciendo las cuentas llego a lo mismo, y para la otra parte lo que habia hecho esta bien? o me pasa algo parecido a lo que me contaste ahora? me refiero a la solucion que encontre para x_2

[arivasm]

Re: solucion forzada

La de x_2 no debería tener problema. Permíteme que no revise las cifras (el 4/3), pues ahora mismo tengo poco tiempo. Salvo la falta de esa confirmación, no veo errores en lo que has puesto al respecto.

[LauraLopez]

Re: solucion forzada

con eso me alcanza gracias!